Что такое траектория движения в физике. Движение по заданной траектории. Урок для Adobe Flash. Скорость и ускорение

Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.

Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.

Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.

Путь

Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.

Вектор перемещения

Вектор перемещения (или просто перемещение ) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.

Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.

Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы и ), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.

На рис. 1.1:

Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия .

Правило сложения векторов

Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).

Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.

На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:

а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма

Проекции вектора перемещения

При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения (см.рис. 1.3).

Выберем ось ОХ так, чтобы вектор лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно А x и В x . Длина отрезка А x В x на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть

S x = A x B x

ВАЖНО!
Напоминаю для тех, кто не очень хорошо знает математику: не путайте вектор с проекцией вектора на какую-либо ось (например, S x). Вектор всегда обозначается буквой или несколькими буквами, над которыми находится стрелка. В некоторых электронных документах стрелку не ставят, так как это может вызвать затруднения при создании электронного документа. В таких случаях ориентируйтесь на содержание статьи, где рядом с буквой может быть написано слово «вектор» или каким-либо другим способом вам указывают на то, что это именно вектор, а не просто отрезок.

Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.

Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть

S x = x – x 0

Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:

S y = y – y 0 S z = z – z 0

Здесь x 0 , y 0 , z 0 — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).

Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).

Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.

Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.

Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х 0 и у 0 , то есть А(х 0 , у 0). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.

Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.

Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:

S x = x – x 0 S y = y – y 0

На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора , с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как

АС = s x CB = s y

По теореме Пифагора

S 2 = S x 2 + S y 2

Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:

Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.

5.1 Общие указания

5.1.1 Программирование параметров движения по траектории

В этой главе описываются команды, с помощью которых можно оптимизировать параметры движения на границах кадров для выполнения специальных требований. Так, к примеру, можно осуществлять достаточно быстрое позиционирование осей или соответственно уменьшать контуры траектории через несколько кадров с учетом предела ускорения и коэффициента перегрузки. С увеличением скорости увеличиваются и неточности контура траектории.

Программируются команды траектории с соответствующими параметрами.

Принципиальное описание

При изменении направления движения в режиме управления траекторией переходы контуров сглаживаются, при этом происходит не точный подвод к запрограммированным позициям. Благодаря этому возможен непрерывный обход углов с, по возможности, постоянной скоростью или оптимизация переходов с помощью дополнительных команд. С помощью функции точного останова с использованием дополнительных критериев точности обработки могут быть реализованы с макс. точностью. СЧПУ с помощью Look Ahead автоматически вычисляет управление скоростью на несколько кадров вперед.

Для осей процессы ускорения могут быть активированы как в щадящем для механики, так и в оптимизированном по времени режиме. Речь идет как о траекторных осях, так и о позиционирующих, геометрических и ведомых осях, которые, в зависимости от хода программы, также могут переключаться из соответствующих кадров актуальной обработки. Также может быть определен тип предуправления и то, какие оси должны использовать предуправление. При обработке без предуправления можно задать макс. допустимую погрешность контура.

Между двумя кадрами обработки ЧПУ может быть вставлено время ожидания или кадр с неявной остановкой предварительной обработки.

Для каждой типичной команды траектории указывается пример программирования.

5.1 Общие указания

Функции для оптимизации параметров движения на границах кадров

Оптимизация параметров движения на границах кадров возможна с помощью следующих функций:

активация модального или покадрового точного останова

определение точного останова с дополнительными окнами точного останова

режим управления траекторией с постоянной скоростью

режим управления траекторией с указанием типа перешлифовки

режим управления траекторией с опережающим управлением скоростью

активация параметров ускорения и скорости осей

процентное управление ускорением ведомых осей

сглаживания скорости движения по траектории

движение с предуправлением для увеличения точности траектории

включение программируемой точности контура

активация программируемого времени ожидания

ускоренный ход

Параметры движения по траектории

5.2 Точный останов (G60, G9, G601, G602, G603)

Функции точного останова используются тогда, когда необходимо создание острых внешних углов или чистовая обработка внутренних углов по размеру.

С помощью критериев точного останова "Окно точного останова точное" и "Окно точного останова грубое" определяется, как точно осуществляется подвод к угловой точке и когда осуществляется переключение на следующий кадр. В конце интерполяции можно запустить смену кадров на конце кадра, если СЧПУ вычислила для участвующих осей заданную скорость ноль.

Программирование

Параметры

Точная и грубая границы точного останова могут быть установлены для каждой оси через машинные данные. Скорость до достижения точной позиции назначения в конце кадра уменьшается до нуля.

Указание

G601, G602 и G603 действуют только при активной G60 или G9.

Описание

Точный останов, G60, G9

G9 создает в актуальном кадре точный останов, G60 – в актуальном кадре и во всех последующих кадрах.

Функции режима управления траекторией G64 или G641 отключают G60. G601/G602

Движение притормаживается и кратковременно останавливается на угловой точке.

Указание Устанавливать границы точного останова так близко друг к другу, как это необходимо. Чем

ближе друг другу зафиксированы границы, тем дольше длиться компенсация положения и переход к позиции назначения.

Конец интерполяции, G603

Смена кадра запускается при вычислении СЧПУ заданной скорости для участвующих осей равной нулю. На этот момент времени фактическое значение – в зависимости от динамики и скорости движения по траектории – отстает на участок выбега. Благодаря этому возможна шлифовка углов детали.

Параметры движения по траектории

5.2 Точный останов (G60, G9, G601, G602, G603)

Вывод команд Во всех трех случаях:

Запрограммированные в кадре ЧПУ вспомогательные функции включаются после завершения движения.

Указание Изготовитель станка

В машинных данных специфически для канала может быть зафиксировано, чтобы предварительно установленные критерии, отличные от запрограммированных критериев точного останова, использовались автоматически. При необходимости они имеют приоритет перед запрограммированными критериями. Критерии для G0 и прочих команд G 1-ой группы кода G могут сохраняться отдельно, см. описание функций, FB1, B1.

Параметры движения по траектории

5.3 Режим управления траекторией (G64, G641, G642, G643, G644)

В режиме управления траекторией контур изготовляется с постоянной скоростью движения по траектории. Равномерная скорость способствует лучшим условиям резания, улучшает качество поверхностей и уменьшает время обработки.

Внимание В режиме управления траекторией не осуществляется точного подвода к

запрограммированным переходам контура. Острые углы создаются с помощью G60 или G9. Режим управления траекторией прерывается выводами текста с "MSG" и кадрами, которые вызывают неявную остановку предварительной обработки (к примеру, обращение к определенным данным состояния станка ($A...)). Это же относится и к выводу вспомогательных функций.

Программирование

G641 ADISPOS=…

G642 ADISPOS=…

Параметры движения по траектории

5.3 Режим управления траекторией (G64, G641, G642, G643, G644)

G643 ADISPOS=…

Параметры

Указание

Перешлифовка не является заменой для закругления углов (RND). Пользователь не должен предполагать, как будет выглядеть контур внутри зоны перешлифовки. Тип перешлифовки может зависеть и от динамических свойств, к примеру, скорости движения по траектории. Поэтому перешлифовка на контуре имеет смысл только с маленькими значениями ADIS. Если при всех обстоятельствах необходимо прохождение определенного контура на углах, то надо использовать RND.

ADISPOS используется между кадрами G0. Таким образом, при позиционировании осевой ход может быть значительно сглажен и время перемещения уменьшено.

Если ADIS/ADISPOS не запрограммированы, то действует значение ноль и характеристика движения как для G64. При коротких путях перемещения интервал перешлифовки уменьшается автоматически (до макс. 36%).

У этой детали подвод осуществляется точно к пазу на двух углах, в остальном работа осуществляется в режиме управления траекторией.

Параметры движения по траектории

5.3 Режим управления траекторией (G64, G641, G642, G643, G644)

точный останов точный

Указание

Пример перешлифовки с G643 см. также: Литература /PGA/ Руководство по программированию "Расширенное программирование", глава 5, Настраиваемое соотношение траекторий, SPATH, UPATH

Режим управления траекторией, G64

В режиме управления траекторией инструмент проходит тангенциальные контурные переходы с возможной постоянной скоростью движения по траектории (без притормаживания на границах кадра). Перед углами (G09) и кадрами с точным остановом осуществляется опережающее торможение (Look Ahead, см. следующие страницы).

Параметры движения по траектории

5.3 Режим управления траекторией (G64, G641, G642, G643, G644)

Проход углов осуществляется также с постоянной скоростью. Для уменьшения ошибок контура скорость соответственно снижается с учетом предела ускорения и коэффициента перегрузки.

Литература: /FB1/ Описание функций, B1, Режим управления траекторией.

Указание Коэффициент перегрузки может быть установлен в машинных данных 32310. Степень

шлифовки переходов контура зависит от скорости подачи и коэффициента перегрузки. С помощью G641 можно явно указать необходимую зону перешлифовки.

Перешлифовка не может и не должна заменять функции для определенного сглаживания: RND, RNDM, ASPLINE, BSPLINE, CSPLINE.

Режим управления траекторией с программируемой зашлифовкой переходов, G641

При G641 СЧПУ вставляет переходные элементы на переходах контура. С помощью ADIS=… или ADISPOS=… можно указать, до какой степени зашлифовываются углы. G641 действует подобно RNDM, но не ограничена осями рабочей плоскости.

Пример: N10 G641 ADIS=0.5 G1 X… Y…

Кадр перешлифовки может начинаться самое раннее за 0,5 мм перед запрограммированным концом кадра и должен заканчиваться через 0,5 мм после конца кадра. Эта установка действует модально. G641 также работает с опережающим управлением скоростью Look Ahead. Подвод к кадрам перешлифовки с сильным изгибом осуществляется с уменьшенной скоростью.

Параметры движения по траектории

5.3 Режим управления траекторией (G64, G641, G642, G643, G644)

Режим управления траекторией G64/G641 на нескольких кадрах

Во избежание нежелательной остановки движения по траектории (свободное резание) следует учитывать:

Вывод вспомогательных функций приводит к остановке (исключение: быстрые вспомогательные функции и вспомогательные функции при движениях)

Промежуточно запрограммированные кадры только с комментариями, кадрами вычисления или вызовами подпрограмм не приводят к помехам.

Расширения перешлифовки

Если не все траекторные оси включены в FGROUP, то часто на переходах кадра для не включенных осей происходит скачок скорости, который СЧПУ ограничивает посредством уменьшения скорости на смене кадров до разрешенной через машинные данные 32300: MAX_AX_ACCEL и MD 32310: _MAX_ACCEL_OVL_FACTOR величины. Этого притормаживания можно избежать, смягчив заданную связь позиций траекторных осей через перешлифовку.

Перешлифовка с G641

С помощью G641 и указания радиуса перешлифовки ADIS (или ADISPOS при ускоренном ходе) для траекторных функций осуществляется модальное включение перешлифовки. В пределах этого радиуса вокруг точки смены кадров СЧПУ может разрывать траекторную связь и заменять ее на динамически-оптимальный путь. Недостаток: Для всех осей доступно только одно значение ADIS.

Перешлифовка с осевой точностью с G642

С помощью G642 осуществляется модальное включение перешлифовки с осевыми допусками. Перешлифовка осуществляется не в пределах определенного диапазона ADIS, а соблюдаются определенные с помощью машинных данных MD 33100:

COMPRESS_POS_TOL осевые допуски. В остальном принцип работы идентичен

Параметры движения по траектории

5.3 Режим управления траекторией (G64, G641, G642, G643, G644)

При G642 путь перешлифовки определяется из кратчайшего пути перешлифовки всех осей. Это значение учитывается при создании кадра перешлифовки.

Перешлифовка внутри кадра с G643

Максимальные отклонения от точного контура при перешлифовке с G643 устанавливается через машинные данные MD 33100: COMPRESS_POS_TOL[...] для каждой оси. С помощью G643 не создается свой кадр перешлифовки, а вставляются специфические для осей внутрикадровые движения перешлифовки. При G643 путь перешлифовки каждой оси может быть различным.

Перешлифовка с допуском контура при G642 и G643

С помощью описанных в дальнейшем расширений улучшаются параметры G642 и G643 и вводится перешлифовка с допуском контура. При перешлифовке с G642 и G643 обычно задаются разрешенные отклонения каждой оси.

С помощью MD 20480: SMOOTHING_MODE перешлифовка с G642 и G643 может быть сконфигурирована таким образом, что вместо специфических для осей допусков может быть задан допуск контура и допуск ориентации. При этом допуск контура и ориентации устанавливаются с помощью двух независимых установочных данных, которые могут быть запрограммированы в программе ЧПУ, что позволяет задавать их различными для каждого перехода кадра.

Установочные данные

SD 42465: SMOOTH_CONTUR_TOL

С помощью этих установочных данных устанавливается максимальный допуск при перешлифовке для контура.

SD 42466: SMOOTH_ORI_TOL

С помощью этих установочных данных устанавливается максимальный допуск при перешлифовке для ориентации инструмента (угловая погрешность).

Эти данные действуют только при активной трансформации ориентации. Очень разные данные для допуска контура и допуска ориентации инструмента могут сказываться только при G643.

Перешлифовка с макс. возможной динамикой при G644

Перешлифовка с макс. возможной динамикой активируется с G644 и конфигурируется с помощью MD 20480:SMOOTHING_MODE в четвертой позиции.

Существуют возможности: 0:

ввод макс. осевой погрешности с MD 33100: COMPRESS_POS_TOL 1:

ввод макс. пути перешлифовки через программирование ADIS=... или ADISPOS=...

Параметры движения по траектории

5.3 Режим управления траекторией (G64, G641, G642, G643, G644)

ввод макс. возможной частоты каждой оси в диапазоне перешлифовки с MD 32440: LOOKAH_FREQUENCY. Диапазон перешлифовки устанавливается таким образом, чтобы при движениях перешлифовки не возникало частот, превышающих заданную макс. частоту.

при перешлифовке с G644 не контролируются ни допуск, ни интервал перешлифовки. Каждая ось движется вокруг угла с макс. возможной динамикой.

При SOFT здесь соблюдается как макс. ускорение, так и макс. рывок каждой оси.

При BRISK рывок не ограничивается, а каждая ось двигается с макс. возможным ускорением.

Литература: /FB1/, B1, режим управления траекторией, точный останов и LookAhead

Нет кадра перешлифовки/нет движения перешлифовки

Вывод команд Вспомогательные функции, включаемые после окончания движения или перед

следующим движением, прерывают режим управления траекторией.

Позиционирующие оси Позиционирующие оси всегда перемещаются по принципу точного останова, окно

позиционирования точное (как G601). Если в кадре ЧПУ необходимо ждать позиционирующие оси, то режим управления траекторией траекторных осей прерывается.

В следующих трех ситуациях перешлифовка не осуществляется:

1. Между обеими кадрами осуществляется остановка. Это происходит, если...

2. Кадр перешлифовки замедлил бы выполнение программы обработки деталей. Это

происходит, если...

– между очень короткими кадрами вставляется кадр перешлифовки. Так как для каждого кадра необходим минимум один такт интерполяции, то вставленный промежуточный кадр удвоил бы время обработки.

– переход кадра с G64 (режим управления траекторией без перешлифовки) может быть пройден без уменьшения скорости. Перешлифовка увеличила бы время обработки. Это означает, что значение разрешенного коэффициента перегрузки

(MD 32310: MAX_ACCEL_OVL_FACTOR) влияет на то, будет ли осуществлена перешлифовка перехода кадра или нет. Коэффициент перегрузки учитывается только при перешлифовке с G641/G642.

Параметры движения по траектории

5.3 Режим управления траекторией (G64, G641, G642, G643, G644)

Коэффициент перегрузки не влияет на перешлифовку с G643.

– это поведение может быть установлено и для G641 и G642, при этом машинные данные MD 20490 устанавливаются на: IGNORE_OVL_FACTOR_FOR_ADIS = TRUE.

3. Перешлифовка не спараметрирована. Это происходит, если при G641...

– в кадрах G0 ADISPOS == 0 (предварительная установка!)

– в не-G0-кадрах ADIS == 0 (предварительная установка!)

– при переходе между G0 и не G0 или не G0 и G0 действует меньшее значение из

ADISPOS и ADIS.

При G642/G643, если все специфические для осей допуски равны нулю.

Опережающее управление скоростью Look Ahead

В режиме управления траекторией с G64 или G641 СЧПУ заранее автоматически определяет управление скоростью для нескольких кадров ЧПУ. Благодаря этому ускорение и торможение для аппроксимирующих тангенциальных переходов может осуществляться через несколько кадров. Прежде всего, благодаря опережающему управлению скоростью с высокими траекторными подачами можно создавать цепочки движений, которые состоят из коротких сегментов перемещения. Максимальное количество кадров ЧПУ, на которое может осуществляться опережение, может быть установлено через машинные данные.

Указание Опережение на более чем один кадр является опцией.

Режим управления траекторией при ускоренном ходе G0

И для движения ускоренным ходом должна быть указана одна из названных функций G60/G9 или G64/G641. В иных случаях действует заданная через машинные данные предварительная установка.

Через установку MD 20490: IGNORE_OVL_FACTOR_FOR_ADIS переходы кадров всегда перешлифовываются независимо от установленного коэффициента перегрузки.

5.4 Режим ускорения

5.4.1 Режимы ускорения (BRISK, SOFT, DRIVE)

BRISK, BRISKA: Осевые салазки движутся с максимальным ускорением до достижения скорости подачи. BRISK позволяет осуществлять оптимальную по времени работу, но со скачками в процессе ускорения.

SOFT, SOFTA: Осевые салазки движутся с постоянным ускорением до достижения скорости подачи. Благодаря плавному процессу ускорения SOFT способствует более высокой точности траектории и меньшей нагрузке станка.

DRIVE, DRIVEA: Осевые салазки движутся с максимальным ускорением до установленного через машинные данные ограничения скорости. После этого осуществляется уменьшение ускорения в соответствии с машинными данными до достижения скорости подачи. Таким образом, возможно оптимальное согласование процесса ускорения с заданной характеристикой двигателя, к примеру, для шаговых приводов.

Программирование

BRISK BRISKA(ось1,ось2,…)

SOFT SOFTA(ось1,ось2,…)

DRIVE DRIVEA(ось1,ось2,…)

Параметры

BRISK BRISKA(ось1,ось2,…)

Скачкообразное ускорение траекторных осей

Включение скачкообразного осевого ускорения для запрограммированных осей

Ускорение траекторных осей с ограничением рывка

Параметры движения по траектории 5.4 Режим ускорения

SOFTA (ось1,ось2,…)

DRIVEA(ось1,ось2,…)

Включение осевого ускорения с ограничением рывка для запрограммированных осей

Уменьшение ускорения выше устанавливаемой через $MA_ACCEL_REDUCTION_SPEED_POINT скорости для траекторных осей (действует только для FM-NC)

Уменьшение ускорения выше устанавливаемой через $MA_ACCEL_REDUCTION_SPEED_POINT скорости для запрограммированных осей (действует только для FM-NC) (ось1,ось2,…)

Установленный через машинные данные $MA_POS_AND JOG_JERK_ENABLE или $MA_ACCEL_TYPE_DRIVE режим ускорения действует для запрограммированных осей

Указание

Переключение между BRISK и SOFT вызывает остановку на переходе кадра. Через машинные данные может быть установлен режим ускорения для траекторных осей. Кроме относящегося к траектории ограничения рывка, действующего в режимах работы MDA и AUTO на траекторные оси, существует и относящееся к оси ограничение рывка, которое может действовать на позиционирующие оси и при перемещении осей в режиме JOG.

Пример BRISK и SOFT

N10 G1 X… Y… F900 SOFT

N20 BRISKA(AX5,AX6)

Параметры движения по траектории 5.4 Режим ускорения

Пример DRIVE, DRIVEA

N10 G1 X… Y… F1000

N20 DRIVEA (AX4, AX6)

5.4.2 Управление ускорением для ведомых осей (VELOLIMA, ACCLIMA, JERKLIMA)

Указание

JERLIMA доступна не для всех типов соединения. Подробности функции описаны в:

Литература: Описание функций /FB3/, M3, Соединения осей и ESR, /FB2/, S3, Синхронные шпиндели.

Пример электронного редуктора

Ось 4 через соединение "Электронный редуктор" соединена в осью Х. Приемистость ведомой оси ограничивается до 70% макс. ускорения. Макс. допустимая скорость ограничивается до 50% макс. скорости. После успешного включения соединения макс. допустимая скорость снова устанавливается на 100%.

Пример управления соединением по главному значению через статическое синхронное действие

Ось 4 через соединение по главному значению соединяется с осью Х. Режим ускорения через статическое синхронное действие 2 от позиции 100 ограничивается до 80 процентов.

Параметры движения по траектории 5.4 Режим ускорения

5.4.3 Технология групп G (DYNNORM, DYNPOS, DYNROUGH, DYNSEMIFIN, DYNFISH)

Программирование

Параметры

Указание Значения динамики активируются уже в том кадре, в котором программируется

соответствующий код G. Обработка не останавливается.

Параметры движения по траектории 5.5. Сглаживание скорости движения по траектории

Значения динамики через группу кода G "Технология"

Запись или чтение определенного элемента поля Макс. ускорение для черновой обработки, ось X

5.5. Сглаживание скорости движения по траектории

Параметры движения по траектории 5.6 Движение с предуправлением (FFWON, FFWOF)

Указание Колебания скорости движения по траектории из-за ввода новой подачи также не

изменяются. Это зависит от создателя программы обработки детали.

Указание Если при обработке с высокой скоростью движения по траектории происходит

кратковременный процесс ускорения, который через очень короткий промежуток времени снова приводит к процессу торможения, то это не приводит к значительному сокращению времени обработки. Но следствием этих процессов ускорения могут быть нежелательные проявления, к примеру, возбуждение резонанса станка.

Литература: Описание функций /FB1/, B1, "Сглаживание скорости движения по траектории"

5.6 Движение с предуправлением (FFWON, FFWOF)

Благодаря предуправлению зависящий от скорости путь выбега уменьшается практически до нуля. Движение с предуправлением способствует более высокой точности контура и тем самым лучшим производственным результатам.

Программирование

Параметры

Параметры движения по траектории

Указание Через машинные данные устанавливается вид предуправления и то, какие

траекторные оси должны перемещаться через предуправление.

Стандарт: Зависящее от скорости предуправление.

Опция: Зависящее от ускорения предуправление (невозможно для 810D).

N20 G1 X… Y… F900 SOFT

5.7 Точность контура (CPRECON, CPRECOF)

При обработке без предуправления (FFWON) в случае изогнутых контуров из-за зависящих от скорости рассогласований между заданными и фактическими позициями могут возникнуть погрешности контура.

Программируемая точность контура CPRCEON позволяет зафиксировать в программе ЧПУ максимальную погрешность контура, которая не может быть превышена. Значение погрешности контура указывается с помощью установочных данных $SC_CONTPREC .

С помощью Look Ahead движение по всей траектории может осуществляться с запрограммированной точностью контура.

Программирование

Параметры

Параметры движения по траектории

5.7 Точность контура (CPRECON, CPRECOF)

Указание

Через установочные данные $SC_MINFEED может быть определена минимальная скорость, выход за нижний предел которой не осуществляется, а через системную переменную $SC_CONTPREC то же значение может напрямую записываться из программы обработки детали.

Из значения погрешности контура $SC_CONTPREC и из коэффициента KV (отношение скорости к отклонению, обусловленному запаздыванием) участвующих геометрических осей СЧПУ вычисляет максимальную скорость движения по траектории, при которой результирующая из выбега погрешность контура не превышает зафиксированное в установочных данных минимальное значение.

5.8 Время ожидания (G4)

С помощью G4 можно прервать обработку детали между двумя кадрами ЧПУ на запрограммированное время. К примеру, для свободного резания.

Программирование

Программирование в своем кадре ЧПУ

Параметры

Указание

Только в кадре с G4 слова с F... и S... используются для указания времени. Запрограммированная до этого подача F и число оборотов шпинделя S сохраняются.

Параметры движения по траектории 5.9 Внутренняя остановка предварительной обработки

Программирование

Данные состояния станка ($A…) создаются внутри СЧПУ.

Параметры

Данные состояния станка ($A…)

Обработка должна быть остановлена в кадре N50.

Основные понятия кинематики и кинематические характеристики

Движение человека является механическим, то есть это изменение тела или его частей относительно других тел. Относительное перемещение описывает кинематика.

Кинематика – раздел механики, в котором изучается механическое движение, но не рассматриваются причины, вызывающие это движение . Описание движения как тела человека (его частей) в различных видах спорта, так и различных спортивных снарядов являются неотъемлемой частью спортивной биомеханики и в частности кинематики.

Какой бы материальный объект или явление мы не рассматривали, окажется что вне пространства и вне времени ничего не существует. Любой предмет имеет пространственные размеры и форму, находится в каком-то месте пространства по отношению к другому предмету. Любой процесс, в котором участвуют материальные объекты, имеет во времени начало и конец, сколько то длится во времени, может совершаться раньше или позже другого процесса. Именно по этому возникает необходимость измерять пространственную и временную протяжённости.

Основные единицы измерения кинематических характеристик в международной системе измерений СИ.

Пространство. Одна сорокамиллионная часть длины земного меридиана, проходящего через Париж, была названа метром. Поэтому длина измеряется в метрах (м) и кратных ему единицах измерения: километрах (км), сантиметрах (см) и т. д.

Время – одно из фундаментальных понятий. Можно сказать, что это то, что отделяет два последовательных события. Один из способов измерить время – это использовать любой регулярно повторяющийся процесс. Одна восьмидесяти шести тысячная часть земных суток была выбрана за единицу времени и была названа секундой (с) и кратных ей единицах (минутах, часах и т. д.).

В спорте используются специальные временные характеристики:

Момент времени (t) - это временная мера положения материальной точки, звеньев тела или системы тел . Моментами времени обозначают начало и окончание движения или какой либо его части или фазы.

Длительность движения (∆t) – это его временная мера, которая измеряется разностью моментов окончания и начала движения ∆t = tкон. – tнач.

Темп движения (N) – это временная мера повторности движений, повторяющихся в единицу времени . N = 1/∆t; (1/c) или (цикл/c).

Ритм движений – это временная мера соотношения частей (фаз) движений . Он определяется по соотношению длительности частей движения.

Положение тела в пространстве определяют относительно некоторой системы отсчёта, которая включает в себя тело отсчёта (то есть относительно чего рассматривается движение) и систему координат, необходимую для описания на качественном уровне положение тела в той или иной части пространства.

С телом отсчёта связывают начало и направление измерения. Например, в целом ряде соревнований началом координат можно выбрать положение старта. От него уже рассчитывают различные соревновательные дистанции во всех циклических видах спорта. Тем самым в выбранной системе координат «старт – финиш» определяют расстояние в пространстве, на которое переместится спортсмен при движении. Любое промежуточное положение тела спортсмена во время движения характеризуется текущей координатой внутри выбранного дистанционного интервала.

Для точного определения спортивного результата правилами соревнований предусматривается по какой точке (пункт отсчёта) ведётся отсчёт: по носку конька конькобежца, по выступающей точке грудной клетки бегуна-спринтера, или по заднему краю следа приземляющегося прыгуна в длину.

В некоторых случаях для точного описания движения законов биомеханики вводится понятие материальная точка.

Материальная точка – это тело, размерами и внутренней структурой которого в данных условиях можно пренебречь .

Движение тел по характеру и интенсивности могут быть различными. Чтобы охарактеризовать эти различия, в кинематике вводят ряд терминов, представленных ниже.

Траектория – линия, описываемая в пространстве движущейся точкой тела . При биомеханическом анализе движений прежде всего рассматривают траектории движений характерных точек человека. Как правило, такими точками являются суставы тела. По виду траектории движений делят на прямолинейные (прямая линия) и криволинейные (любая линия, отличная от прямой).

Перемещение – это векторная разность конечного и начального положения тела . Следовательно, перемещение характеризует окончательный результат движения.

Путь – это длина участка траектории, пройденной телом или точкой тела за выбранный промежуток времени .

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

Введение в кинематику

Кинематикой называют раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел с геометрической точки зрения незави­симо от приложенных сил.

Положение движущегося тела в пространстве всегда определяется по отношению к любому другому неизменяемому телу, называемому телом отсчета . Система координат, неизменно связанная с телом отсчета, называется системой отсчета . В механике Ньютона время считается абсолютным и не связанным с движущейся материей. В соответствии с этим оно протекает одинаково во всех системах отсчета независимо от их движения. Основной единицей измерения времени является секунда (с) .

Если положение тела по от­ношению к выбранной системе отсчета с течением времени не изменяется, то говорят, что тело относительно данной системы отсчета находится в покое . Если же тело изменяет свое положение относительно выбранной системы от­счета, то говорят, что оно движется по отношению к этой системе. Тело может находиться в состоянии покоя по отношению к одной системе отсчета, но дви­гаться (и притом совершенно различным образом) по отношению к другим сис­темам отсчета. Например, пассажир, неподвижно сидящий на скамье движуще­гося поезда, покоится относительно системы отсчета, связанной с вагоном, но движется по отношению к системе отсчета, связанной с Землей. Точка, лежа­щая на поверхности катания колеса, движется по отношению к системе отсчета, связанной с вагоном, по окружности, а по отношению к системе отсчета, свя­занной с Землей, по циклоиде; та же точка покоится по отношению к систе­ме координат, связанной с колесной парой.

Таким образом, движение или покой тела могут рассматриваться лишь по от­ношению к какой-либо выбранной системе отсчета . Задать движение тела отно­сительно какой-либо системы отсчета -значит дать функциональные зависи­мости, с помощью которых можно определить положение тела в любой момент времени относительно этой системы. Различные точки одного и того же тела по отношению к выбранной системе отсчета движутся по-разному. Например, по отношению к системе, связанной с Землей, точка поверхности ката­ния колеса движется по циклоиде, а центр колеса - по прямой. Поэтому изучение кинема­тики начинают с кинематики точки.

§ 2. Способы задания движения точки

Движение точки может быть задано тремя способами: естественным, векторным и координатным.

При естественном способе задания движения дается траектория, т. е. линия, по которой движется точка (рис.2.1). На этой траектории выбирается некоторая точка , принимаемая за начало от­счета. Выбираются положительное и отрицательное направления отсчета дуговой координаты , определяющей положение точки на траектории. При движе­нии точки расстояние будет изменяться. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать дуговую коор­динату как функцию времени:

Это равенство называется уравнением движения точки по данной траектории .

Итак, движение точки в рассматриваемом случае определяется совокупностью следующих данных: траектории точки, положения начала отсчета дуговой координаты, положительного и отрицательного направлений отсчета и функции .

При векторном способе задания движения точки положение точки определя­ется величиной и направлением радиуса-вектора , проведенного из неподвиж­ного центра в данную точку (рис. 2.2). При движении точки ее радиус-вектор изменяется по величине и направлению. Поэтому, чтобы оп­ределить положе­ние точки в любой момент времени, достаточно задать ее радиус-вектор как функцию времени:

Это равенство называется векторным уравнением движения точки .

При координатном способе задания движения положение точки по отношению к выбранной системе отсчета определяется при помощи прямоугольной системы декартовых координат (рис. 2.3). При движении точки ее координаты изменяются с течением времени. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать координаты , , как функции времени:

Эти равенства называются уравнениями движения точки в прямоугольных де­картовых координатах . Движение точки в плоскости определяется двумя уравне­ниями системы (2.3), прямолиней­ное дви­жение - одним.

Между тремя описанными способами задания движения существует вза­имная связь, что позволяет от одного способа задания движения перейти к другому. В этом легко убедиться, например, при рассмотрении перехода от ко­ординатного способа задания движения к векторному .

Положим, что движение точки задано в виде уравнений (2.3). Имея в виду, что

можно записать

А это и есть уравнение вида (2.2).

Задача 2.1. Найти уравнение движения и траекторию средней точки шатуна, а также уравнение движения ползуна кривошипно-ползунного механизма (рис. 2.4), если ; .

Решение. Положение точки определя­ется двумя координатами и . Из рис. 2.4 видно, что

, .

Тогда из и :

; ; .

Подставляя значения , и , получаем уравнения движения точки :

; .

Чтобы найти уравнение траектории точки в явной форме, надо исключить из уравнений движения время . С этой целью проведем необходимые преобразования в полученных выше уравнениях движения:

; .

Возводя в квадрат и складывая левые и правые части этих уравнений, получим уравнение траектории в виде

.

Следовательно, траектория точки - эллипс.

Ползун движется прямолинейно. Координату , определяющую положение точки, можно записать в виде

.

Скорость и ускорение

Скорость точки

В предыдущей статье движение тела или точки определено, как изменение положения в пространстве с течением времени. Для того чтобы более полно охарактеризовать качественные и количественные стороны движения введены понятия скорости и ускорения.

Скорость – это кинематическая мера движения точки, характеризующая быстроту изменения ее положения в пространстве.
Скорость является векторной величиной, т. е. она характеризуется не только модулем (скалярной составляющей), но и направлением в пространстве.

Как известно из физики, при равномерном движении скорость может быть определена длиной пути, пройденного за единицу времени: v = s/t = const (предполагается, что начало отсчета пути и времени совпадают).
При прямолинейном движении скорость постоянна и по модулю, и по направлению, а ее вектор совпадает с траекторией.

Единица скорости в системе СИ определяется соотношением длина/время, т. е. м/с .

Очевидно, что при криволинейном движении скорость точки будет меняться по направлению.
Для того, чтобы установить направление вектора скорости в каждый момент времени при криволинейном движении, разобьем траекторию на бесконечно малые участки пути, которые можно считать (вследствие их малости) прямолинейными. Тогда на каждом участке условная скорость v п такого прямолинейного движения будет направлена по хорде, а хорда, в свою очередь, при бесконечном уменьшении длины дуги (Δs стремится к нулю), будет совпадать с касательной к этой дуге.
Из этого следует, что при криволинейном движении вектор скорости в каждый момент времени совпадает с касательной к траектории (рис. 1а) . Прямолинейное движение можно представить, как частный случай криволинейного движения по дуге, радиус которой стремится к бесконечности (траектория совпадает с касательной) .

При неравномерном движении точки модуль ее скорости с течением времени меняется.
Представим себе точку, движение которой задано естественным способом уравнением s = f(t) .

Если за небольшой промежуток времени Δt точка прошла путь Δs , то ее средняя скорость равна:

vср = Δs/Δt .

Средняя скорость не дает представления об истинной скорости в каждый данный момент времени (истинную скорость иначе называют мгновенной). Очевидно, что чем меньше промежуток времени, за который определяется средняя скорость, тем ближе ее значение будет к мгновенной скорости.

Истинная (мгновенная) скорость есть предел, к которому стремится средняя скорость при Δt, стремящемся к нулю :

v = lim v ср при t→0 или v = lim (Δs/Δt) = ds/dt .

Таким образом, числовое значение истинной скорости равно v = ds/dt .
Истинная (мгновенная) скорость при любом движении точки равна первой производной координаты (т. е. расстояния от начала отсчета перемещения) по времени.

При Δt стремящемся к нулю, Δs тоже стремится к нулю, и, как мы уже выяснили, вектор скорости будет направлен по касательной (т. е. совпадает с вектором истинной скорости v ). Из этого следует, что предел вектора условной скорости v п , равный пределу отношения вектора перемещения точки к бесконечно малому промежутку времени, равен вектору истинной скорости точки.

Рис.1

Рассмотрим пример. Если диск, не вращаясь, может скользить вдоль неподвижной в данной системе отсчета оси (рис.1,а ), то в данной системе отсчета он, очевидно, обладает только одной степенью свободы - положение диска однозначно определяется, скажем, координатой x его центра, отсчитываемой вдоль оси. Но если диск, кроме того, может еще и вращаться (рис.1,б ), то он приобретает еще одну степень свободы - к координате x добавляется угол поворота φ диска вокруг оси. Если ось с диском зажата в рамке, которая может поворачиваться вокруг вертикальной оси (рис.1,в ), то число степеней свободы становится равным трем – к x и φ добавляется угол поворота рамки ϕ .

Свободная материальная точка в пространстве имеет три степени свободы: например декартовы координаты x, y и z . Координаты точки могут определяться также в цилиндрической (r, 𝜑, z ) и сферической (r, 𝜑, 𝜙 ) системах отсчета, но число параметров, однозначно определяющих положение точки в пространстве всегда три.

Материальная точка на плоскости имеет две степени свободы. Если в плоскости выбрать систему координат xОy, то координаты x и y определяют положение точки на плоскости, акоордината z тождественно равна нулю.

Свободная материальная точка на поверхности любого вида имеет две степени свободы. Например: положение точки на поверхности Земли определяется двумя параметрами: широтой и долготой.

Материальная точка на кривой любого вида имеет одну степень свободы. Параметром, определяющим положение точки на кривой, может быть, например, расстояние вдоль кривой от начала отсчета.

Рассмотрим две материальные точки в пространстве, соединенные жестким стержнем длины l (рис.2). Положение каждой точки определяется тремя параметрами, но на них наложена связь.

Рис.2

Уравнение l 2 =(x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2 является уравнением связи. Из этого уравнения любая одна координата может быть выражена через остальные пять координат (пять независимых параметров). Поэтому эти две точки имеют (2∙3-1=5) пять степеней свободы.

Рассмотрим три материальные точки в пространстве, не лежащие на одной прямой, соединенные тремя жесткими стержнями. Число степеней свободы этих точек равно (3∙3-3=6) шести.

Свободное твёрдое тело в общем случае имеет 6 степеней свободы. Действительно, положение тела в пространстве относительно какой-либо системы отсчета, определяется заданием трех его точек, не лежащие на одной прямой, и расстояния между точками в твердом теле остаются неизменными при любых его движениях. Согласно выше сказанному, число степеней свободы должно быть равно шести.

Поступательное движение

В кинематике, как и в статистике, будем рассматривать все твердые тела как абсолютно твердые.

Абсолютно твердым телом называется материальное тело, геометрическая форма которого и размеры не изменяются ни при каких механических воздействиях со стороны других тел, а расстояние между любыми двумя его точками остается постоянным.

Кинематика твердого тела, также как и динамика твердого тела, является одним из наиболее трудных разделов курса теоретической механики.

Задачи кинематики твердого тела распадаются на две части:

1) задание движения и определение кинематических характеристик движения тела в целом;

2) определение кинематических характеристик движения отдельных точек тела.

Существует пять видов движения твердого тела:

1) поступательное движение;

2) вращение вокруг неподвижной оси;

3) плоское движение;

4) вращение вокруг неподвижной точки;

5) свободное движение.

Первые два называются простейшими движениями твердого тела.

Начнем с рассмотрения поступательного движения твердого тела.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Поступательное движение не следует смешивать с прямолиней­ным. При поступательном движении тела траектории его точек мо­гут быть любыми кривыми линиями. Приведем примеры.

1. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги движется поступательно. При этом траектории его точек будут пря­мыми линиями.

2. Спарник АВ (рис.3) при вращении кривошипов O 1 A и O 2 B также движется поступательно (любая проведенная в нем прямая остается параллельной ее начальному направлению). Точки спарника движутся при этом по окружностям.

Рис.3

Поступательно движутся педали велосипеда относительно его рамы во время движения, поршни в цилиндрах двигателя внутреннего сгорания относительно цилиндров, кабины колеса обозрения в парках (рис.4) относительно Земли.

Рис.4

Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению ско­рости и ускорения.

Для доказательства рассмотрим твердое тело, совершающее по­ступательное движение относительно системы отсчета Oxyz . Возьмем в теле две произвольные точки А и В , положения которых в момент времени t определяются радиусами-векторами и (рис.5).

Рис.5

Проведем вектор , соединяющий эти точки.

При этом длина АВ постоянна, как расстояние между точками твердого тела, а направление АВ остается неизменным, так как тело движется поступательно. Таким образом, вектор АВ во все время движения тела остается постоянным (AB =const). Вследствие этого, траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением всех ее точек на постоянный вектор . Следова­тельно, траектории точек А и В будут действительно одинаковыми (при наложении совпадающими) кривыми.

Для нахождения скоростей точек А и В продифференцируем обе части равенства по времени. Получим

Но производная от постоянного вектора АВ равна нулю. Про­изводные же от векторов и по времени дают скорости точек А и В . В результате находим, что

т.е. что скорости точек А и В тела в любой момент времени оди­наковы и по модулю, и по направлению. Беря от обеих частей полу­ченного равенства производные по времени:

Следовательно, ускорения точек А и В тела в любой момент времени тоже одинаковы по модулю и направлению.

Так как точки А и В были выбраны произвольно, то из найден­ных результатов следует, что у всех точек тела их траектории, а также скорости и ускоре­ния в любой момент времени будут одинаковы. Таким образом, теорема доказана.

Из теоремы следует, что поступательное движение твердого тела определяется движением какой-нибудь одной из его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематике точки, нами уже рассмотренной.

При поступательном движении общую для всех точек тела скорость называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение - ускорением поступательного движения тела. Векторы и можно изображать приложенными в любой точке тела.

Заметим, что понятие о скорости и ускорении тела имеют смысл только при поступательном движении. Во всех остальных случаях точки тела, как мы увидим, движутся с разными скоростями и ускорениями, и термины <<скорость тела>> или <<ускорение тела>> для этих движений теряют смысл.

Рис.6

За время ∆t тело, двигаясь из точки А в точку В, совершает перемещение , равное хорде АВ, и проходит путь, равный длине дуги l .

Радиус-вектор поворачивается на угол ∆φ. Угол выражают в радианах.

Скорость движения тела по траектории (окружности) направлена по касательной к траектории. Она называется линейной скоростью. Модуль линейной скорости равен отношению длины дуги окружности l к промежутку времени ∆t, за который эта дуга пройдена:

Скалярная физическая величина, численно равная отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за который этот поворот произошел, называется угловой скоростью:

В СИ единицей угловой скорости является радиан в секунду .

При равномерном движении по окружности угловая скорость и модуль линейной скорости - величины постоянные: ω=const; v=const.

Положение тела можно определить, если известен модуль радиуса- вектора и угол φ, который он составляет с осью Ох (угловая координата). Если в начальный момент времени t 0 =0 угловая координата равна φ 0 , а в момент времени t она равна φ, то угол поворота ∆φ радиуса-вектора за время ∆t=t-t 0 равен ∆φ=φ-φ 0 . Тогда из последней формулы можно получить кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности:

Оно позволяет определить положение тела в любой момент времени t.

Учитывая, что , получаем:

Формула связи между линейнойи угловой скоростью.

Промежуток времени Т, в течение которого тело совершает один полный оборот, называется периодом вращения:

Где N – число оборотов, совершенных телом за время Δt.

За время ∆t=Т тело проходит путь l =2πR. Следовательно,

При ∆t→0 угол ∆φ→0 и, следовательно, β→90°. Перпендикуляром к касательной к окружности является радиус. Следовательно, направлено по радиусу к центру и поэтому называется центростремительным ускорением:

Модуль , направление непрерывно изменяется (рис. 8). Поэтому данное движение не является равноускоренным.

Рис.8

Рис.9

Тогда поло­жение тела в любой момент времени одно­значно определится взятым с соответствую­щим знаком углом φ между этими полуплоскостями, который назо­вем углом поворота тела. Будем считать угол φ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол φ будем всегда в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла φ от времени t , т.е.

Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

При вращательном движении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси углы поворота радиуса-вектора различных точек тела одинаковы.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ω и угловое ускорение ε.

Если за промежуток времени ∆t=t 1 -t тело совершает поворот на угол ∆φ=φ 1 -φ, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет . В пределе при ∆t→0 найдем, что

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак ω определяет направление вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки, ω>0, а когда по ходу часовой стрелки, то ω<0.

Размерность угловой скорости 1/Т (т.е. 1/время); в качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что тоже, 1/с (с -1), так как радиан - величина безразмер­ная.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , модуль которого равен | | и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.10). Такой вектор определяет сразу и модуль угло­вой скорости, и ось вращения, и направ­ление вращения вокруг этой оси.

Рис.10

Угол поворота и угловая скорость характеризуют движение всего абсолютно твердого тела в целом. Линейная скорость какой-либо точки абсолютно твердого тела пропорциональна расстоянию точки от оси вращения:

При равномерном вращении абсолютно твердого тела углы поворота тела за любые равные промежутки времени одинаковы, тангенциальные ускорения у различных точек тела отсутствуют, а нормальное ускорение точки тела зависит от ее расстояния до оси вращения:

Вектор направлен по радиусу траектории точки к оси вращения.

Угловое ускорение характеризует изменение с те­чением времени угловой скорости тела. Если за промежуток вре­мени ∆t=t 1 -t угловая скорость тела изменяется на величину ∆ω=ω 1 -ω, то числовое значение среднего углового ускорения тела за этот промежуток времени будет . В пределе при ∆t→0 найдем,

Таким образом, числовое значение углового ускорения, тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени.

Размерность углового ускорения 1/T 2 (1/время 2); в качестве единицы измерения обычно применяется рад/с 2 или, что то же, 1/с 2 (с- 2).

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, - замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, когда величины ω и εимеют одинаковые знаки, и замедленным, - когда разные.

Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно также изобразить в виде вектора ε, направленного вдоль оси вращения. При этом

Направление ε совпадает с направлением ω, когда тело вращается ускоренно и (рис.10,а), противоположно ω при замедленном вращении (рис.10,б).

Рис.11 Рис. 12

2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами

В нашем случае ρ=h. Подставляя значение v в выражения a τ и a n , получим:

или окончательно:

Касательная составляющая ускорения a τ направлена по каса­тельной к траектории (в сторону движения при ускоренном вра­щении тела и в обратную сторону при, замедленном); нормальная составляющая a n всегда направлена по радиусу МС к оси вращения (рис.12). Полное ускорение точки М будет

Отклонение вектора полного ускорения от радиуса описываемой точкой окружности определяется углом μ, который вычисляется по формуле

Подставляя сюда зна­чения a τ и a n , получаем

Так как ω и ε имеют в данный момент времени для всех точек тела одно и то же значение, то ускорения всех точек вращающегося твердого тела пропорциональ­ны их расстояниям от оси вращения и образуют в данный момент времени один и тот же угол μ с радиусами описываемых ими окруж­ностей. Поле ускорений точек вращающегося твердого тела имеет вид, показанный на рис.14.

Рис.13 Рис.14

3. Векторы скорости и ускорения точек тела. Чтобы найти выражения непосредственно для векторов v и a, проведем из произвольной точки О оси АВ радиус-вектор точки М (рис. 13). Тогда h=r∙sinα и по формуле

Таким образом, мо

Для применения естественного способа задания движения точки должна быть известна ее траектория. Траектория может быть задана различными способами :

Уравнениями (возможно с неравенствами), например,

Словесно, например, радиус окружности равен 3м;

В виде графика в масштабе.

Для задания закона движения точки по известной траектории необходимо:

- выбрать на траектории начало отсчета расстояний – точку О и указать направление положительного отсчета (знак «+»);

Выбрать начало отсчета времени t =0, обычно за начало отсчета времени принимают или начало движения или момент времени, когда движущаяся точка М проходит через точку О.

Закон движения точки М по траектории имеет вид:

где - непрерывная дважды дифференцируемая функция, причем это выражение определяет положение точки на траектории, но не пройденный ею путь.

.

Если при , то

.

Если известен закон движения точки в декартовых координатах, то

,

где знак «+» или «–» определяется выбором положительного или отрицательного направления отсчета расстояний по траектории. Это выражение устанавливает связь естественного способа задания движения точки с координатным.

Скорость точки равна:

,

Но единичный вектор направлен по касательной к траектории в сторону движения точки М, следовательно, скорость точки М направлена по касательной к траектории в сторону движения и равна

Совместим с движущейся по траектории точкой М начало подвижной системы координат – оси естественного трехгранника Мtnb. Ось Mt - касательную направим по касательной к траектории в сторону движения точки. Ось Мn – главную нормаль направим перпендикулярно Мt в сторону вогнутости траектории так, чтобы эти оси образовали соприкасающуюся плоскость . Ось Мb- бинормаль направим перпендикулярно соприкасающейся плоскости в сторону, откуда поворот от оси Мt к оси Mn виден против хода часовой стрелки. Образовались еще две координатные плоскости: Mnb - нормальная и Mtb – спрямляющая.

Пусть точка М переместилась в положение М 1 . Векторы ее скорости в этих точках образуют угол смежности φ .

,

k – кривизна кривой в точке М,

ρ – радиус кривизны кривой в точке М.

Ускорение точки М равно:

,

но , следовательно

.

Вектор ускорения точки М разложен на две взаимно перпендикулярные составляющие лежащие в соприкасающейся плоскости.

s = s (t ), (10)

где s - дуговая координата, отсчитываемая от выбранного начала отсчета на траектории. Знак s определяют в соот­ветствии с выбранным направлением отсчета дуг.

При задании движения точки естественным способом ее скорость находят по формуле

где -единичный вектор касательной, направленный в сторону возрастающих значений дуговой координаты s .

Скорость точки как алгебраическую величину опреде­ляют по формуле

При v > 0 точка движется в сторону возрастающих, а при v < 0 - в сторону убывающих значений s .

Если известна зависимость v = v (t ), то дуговую коор­динату находят по формуле

, (13)

где s 0 - значение дуговой координаты при t = 0.

Если начало отсчета дуг совпадает с начальным по­ложением точки, то s 0 = 0, и тогда

Так как движущаяся точка может изменить направле­ние движения по траектории, то путь σ , пройденный точкой за промежуток времени (0, t ), определяют как сумму длин дуг отдельных участков, на каждом из ко­торых скорость v сохраняет свой знак.

Таким образом,

σ = |s 1 - s 0 | + |s 2 - s 1 | + ... + |s - s n |. (15)

где s 1 , s 2 , .... s п - значения дуговой координаты в мо­менты времени t 1 , t 2 ,…t n ,в которые скорость v изменяет свой знак.

Пример 1. Не­растяжимый трос сматывается с неподвижного барабана ра­диусом R , все время оставаясь в натянутом состоянии (рис. 20). Опре­делить уравнение движения по траектории точки троса, нахо­дившейся в начальный момент времени на барабане, если угол φ , определяющий положение ра­диуса, проведенного в точку N схода троса, задан каквозрастающая функция времени(φ > 0).

Решение . Проведем ось Ох через центр барабана и начальное положение рассматриваемой точки

Рис. 20 М у. В силу нерастяжимости троса длина смотанного конца равна длине соответствующей дуги бара­бана, т. е. NM = = Rφ.

Из рисунка найдем

X = ON cos φ + NM sin φ = R cos φ + Rφ sin φ ;

y = - ON sin φ + NM cos φ = - R sin φ - Rφ cos φ .

При сматывании троса угол φ = φ (t ), следовательно, эти уравнения являются уравнениями движения точки М.

Найдем проекции скорости точки на выбранные оси:

следовательно,

.

Считая, что φ = 0, s = 0 при t = 0, по формуле (14) найдем

.

Если вместо φ подставить известную функцию φ = φ (t ), то

т. е. получим уравнение движения точки по траектории.

Пример 2. Движение точки по траектории задано уравнением (s - в метрах, t - в секундах). Определить значение дуговой координаты s в момент t = 15 с и путь σ , пройденный точкой за первые 15 с.

Решение. Определим скорость точки

.

Найдем моменты времени t 1 , t 2,…, в которые скорость точки изменяет свой знак:

,

откуда t n +1 = (-l) n +6n с (п = 0;1; 2; ...).

Следовательно, в течение первых 15 с скорость изменяет свой знак в моменты времени: t 1 = l с, t 2 = 5 с, t 3 = 13 с.

Определим значения дуговой координаты s вэти моменты вре­мени, а также в момент

t 0 = 0 и в момент t 4 = 15 с:

s 0 = 12 м;

м;

м;

м;

м.

Пользуясь формулой (15), найдем путь, пройденный точкой за первые 15 с:

П = |π+6√З-l2| + |5π-6√3-π-6√3| + |13π+6√3-5π+6√3 | +

+|15π-13π-6√3| = 59,7 м.

Пример 3. Определить уравнение движения точки по траектории, если даны ее уравнения движения в декар­товых координатах:

х = а (2 cos t + cos 2t ), y = a (2sin t- sin 2t ), 0 ≤ t ≤ .

Дуговую координату отсчитывать от начального по­ложения точки в сторону первоначального движения.

Решение. Заданные уравнения представляют собой параметриче­ские уравнения гипоциклоиды, т. е. линии, которую описывает точка окружности радиусом а, катящейся внутри окружности радиусом 3а , причем t равно углу поворота линии центров от ее начального по­ложения.

Для определения s найдем v (t ):

= - 2а (sin t + sin 2t ),

2a (cos t - cos 2t ),

отсюда .

Заметим, что величина v (t ) всегда положительна, так как точка не меняет направления своего движения. Это следует из вышеука­занной интерпретации движения. Аналитически в этом можно убе­диться, если рассмотреть изменение угла φ , образованного радиус-вектором точки с осью абсцисс:

tg φ = x/y ; φ = arc tg x/y ,

Знаменатель и числитель всегда положительны, так как

.

Таким образом, точка всегда движется в одном направлении (φ растет) и скорость сохраняет постоянный знак, который совпадает с ее первоначальным знаком:

.

Для s(t ) получим

.

Этот интеграл не может быть вычислен в элементарных функциях (для произвольного t ). Вычислим его по участкам.

тогда s (t )= .

В частности, при t = 2π/3

s = (2π/3) = 16a /3.

Применять эту формулу при больших t нельзя. Например, при t = 4π /3 она привела бы к нелепому результату s = 0. При , .

.

1.2.1.* Определить уравнение движения точки по траектории, а также значение дуговой координаты s и пройденный путь σ к моменту t = 5с, если ее скорость v задана уравнением:

1) v =10 см/с;

2) v = 2 см/с (0 ≤ t ≤ 3);

v = (5 - t ) см/с(3 ≤ t ≤ 5);

3) v = (2t+ 1) см/с;

4) v = (3 - t ) см/с;

5) v = см/с;

6) см/с;

7) см/с;

8) v = (t 2 - 3t + 2) см/с.

Ответы :

1) s = 10t см; s | t=5c = 50 см; σ | t=5c = 50 см;

2) s = 2t см (0 ≤ t ≤ 3); s = (5t - - 4,5) см (3 ≤ t ≤ 5);

s | t=5c = 8 см; σ| t=5 c = 8 см;

3) s = (t 2 + t ) см; s | t=5c = 30 см; σ| t=5c = 30 см;

4) s =(3t - ) см; s | t=5c = 2,5 см; σ| t=5c = 6,5 см;

5) s = (1- cos ) см; s | t=5c = см; σ| t=5c = 2 см;

6) s = (3t + sin ) см; s | t=5c = 15 см; σ| t=5c = 15см;

7) s = (πt +5 sin ) см; s | t=5c = 5π см;

σ| t=5c = см;

8) s = см; s | t=5c = см; σ| t=5c = см.

1.2.2.* Определить уравнение движения точкипотраектории, если даны уравнения ее движения в декарто­вых координатах. Дуговую координату s отсчитывать от начального положения точки в сторону первоначального движения:

1.2.3 .* Колесо радиусом R катится без скольже­ния по горизонтальному рельсу со скоростью центра . Определить уравнение движения по траектории точки обода колеса, находившейся в начальный момент в точке каса­ния с рельсом. Какое расстояние s i будет пройдено точ­кой по траектории от начала движения до наивысшего положения?

Ответ: s = 8R sin 2 ; s i = 4R . Выражение для s справедливо только до момента t = , при котором s = 8R. После него нужно вычис­лять s так же, как в примере 3.

1.2.4. s = 15 + 4 sin πt. Указать ближайший после начала движения момент вре­мени t 1 , при котором s 1 =17 м. (0.167)

1.2.5. Точка движется по траектории согласно уравнению s = 0,5t 2 + 4t . Определить, в какой момент времени скорость точки дос­тигнет 10 м/с. (6)

1.2.6. Точка движется по заданной траектории со скоростью v = 5 м/с. Определить криволинейную координату s точки в момент времени t = 18 с, если при

t 0 = 0 координата s 0 = 26 м. (116)

1.2.7 . Точка движется по кривой со скоростью v = 0,5 t. Определить ее координату в момент времени t = 10 с, если при t 0 = 0 координатa точки s 0 = 0. (25)