Дана матрица а алгебраическое дополнение равно. Миноры и алгебраические дополнения. Минор k-го порядка матрицы $A_{n\times n}$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы

Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже если с математикой туго.

Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё похоже! Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице , которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить.

Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители . Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.

Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
с помощью алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований .

Сегодня мы изучим первый, более простой способ.

Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле :

Где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц , матриц «два на два», «три на три» и т.д.

Обозначения : Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы

Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

1) Сначала находим определитель матрицы .

Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ .

В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров .

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель .

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .
Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице
Сначала рассмотрим левый верхний элемент:

Как найти его минор ?
А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшееся число и является минором данного элемента , которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы :

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:


Готово.

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:

Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

И всего-то лишь…

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

5) Ответ .

Вспоминаем нашу формулу
Всё найдено!

Таким образом, обратная матрица:

Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами .

Как проверить решение?

Необходимо выполнить матричное умножение либо

Проверка:

Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.

Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения . Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.

Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»:

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы

Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

1) Находим определитель матрицы .

Здесь определитель раскрыт по первой строке .

Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует .

2) Находим матрицу миноров .

Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.

Я подробно рассмотрю парочку миноров:

Рассмотрим следующий элемент матрицы:

МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»

Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента . Его нужно вычислить:


Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:

Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

Окончательный результат:
– матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов:

В данном случае:

Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).

В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.

Миноры матрицы

Пусть дана квадратная матрица А, n — ого порядка. Минором некоторого элемента аij , определителя матрицы n — ого порядка называется определитель (n — 1) — ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент аij. Обозначается Мij.

Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 — его порядка:
Миноры и алгебраические дополнения, определитель матрицы 3 — его порядка , тогда согласно определению минора, минором М12, соответствующим элементу а12, будет определитель : При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы . Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 — его порядка будет выглядеть так:

, знак перед произведением равен (-1) n , где n = i + j.

Алгебраические дополнения:

Алгебраическим дополнением элемента аij называется его минор , взятый со знаком «+», если сумма (i + j) четное число, и со знаком «-«, если эта сумма нечетное число. Обозначается Аij.
Аij = (-1)i+j × Мij.

Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некоторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения . Пример.

В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме "Матрицы. Виды матриц. Основные термины" . Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей . Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

Минор $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$

$M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A_{n\times n}$ именуют определитель матрицы, полученной из матрицы $A$ вычёркиванием i-й строки и j-го столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится элемент $a_{ij}$).

Для примера рассмотрим квадратную матрицу четвёртого порядка: $A=\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end{array} \right)$. Найдём минор элемента $a_{32}$, т.е. найдём $M_{32}$. Сперва запишем минор $M_{32}$, а потом вычислим его значение. Для того, чтобы составить $M_{32}$, вычеркнем из матрицы $A$ третью строку и второй столбец (именно на пересечении третьей строки и второго столбца расположен элемент $a_{32}$). Мы получим новую матрицу, определитель которой и есть искомый минор $M_{32}$:

Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления :

$$ M_{32}=\left| \begin{array} {ccc} 1 & -3 & 9\\ 2 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & 58 \end{array} \right|= 1\cdot 11\cdot 58+(-3)\cdot 5\cdot 3+2\cdot (-5)\cdot 9-9\cdot 11\cdot 3-(-3)\cdot 2\cdot 58-5\cdot (-5)\cdot 1=579. $$

Итак, минор элемента $a_{32}$ равен 579, т.е. $M_{32}=579$.

Часто вместо словосочетания "минор элемента матрицы" в литературе встречается "минор элемента определителя". Суть остается неизменной: чтобы получить минор элемента $a_{ij}$ нужно вычеркнуть из исходного определителя i-ю строку и j-й столбец. Оставшиеся элементы записывают в новый определитель, который и является минором элемента $a_{ij}$. Например, найдём минор элемента $a_{12}$ определителя $\left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & 2\\ 9 & 0 & -5 \\ 4 & -3 & 7 \end{array} \right|$. Чтобы записать требуемый минор $M_{12}$ нам понадобится вычеркнуть из заданного определителя первую строку и второй столбец:

Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков :

$$ M_{12}=\left| \begin{array} {cc} 9 & -5\\ 4 & 7 \end{array} \right|=9\cdot 7-(-5)\cdot 4=83. $$

Итак, минор элемента $a_{12}$ равен 83, т.е. $M_{12}=83$.

Алгебраическое дополнение $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$

Пусть задана квадратная матрица $A_{n\times n}$ (т.е. квадратная матрица n-го порядка).

Алгебраическое дополнением $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A_{n\times n}$ находится по следующей формуле: $$ A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}, $$

где $M_{ij}$ - минор элемента $a_{ij}$.

Найдем алгебраическое дополнение элемента $a_{32}$ матрицы $A=\left(\begin{array} {cccc} 1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & -7 & 11 & 5 \\ -9 & 4 & 25 & 84\\ 3 & 12 & -5 & 58 \end{array} \right)$, т.е. найдём $A_{32}$. Ранее мы уже находили минор $M_{32}=579$, поэтому используем полученный результат:

Обычно при нахождении алгебраических дополнений не вычисляют отдельно минор, а уж потом само дополнение. Запись минора опускают. Например, найдем $A_{12}$, если $A=\left(\begin{array} {ccc} -5 & 10 & 2\\ 6 & 9 & -4 \\ 4 & -3 & 1 \end{array} \right)$. Согласно формуле $A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot M_{12}=-M_{12}$. Однако чтобы получить $M_{12}$ достаточно вычеркнуть первую строку и второй столбец матрицы $A$, так зачем же вводить лишнее обозначение для минора? Сразу запишем выражение для алгебраического дополнения $A_{12}$:

Минор k-го порядка матрицы $A_{m\times n}$

Если в предыдущих двух пунктах мы говорили лишь о квадратных матрицах, то здесь поведём речь также и о прямоугольных матрицах, у которых количество строк вовсе не обязательно равняется количеству столбцов. Итак, пусть задана матрица $A_{m\times n}$, т.е. матрица, содержащая m строк и n столбцов.

Минором k-го порядка матрицы $A_{m\times n}$ называется определитель, элементы которого расположены на пересечении k строк и k столбцов матрицы $A$ (при этом предполагается, что $k≤ m$ и $k≤ n$).

Например, рассмотрим такую матрицу:

$$A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 0 & -3 & 9\\ 2 & 7 & 14 & 6 \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ 0 & 1 & 19 & 8\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end{array} \right) $$

Запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:

$$ \left(\begin{array} {cccc} -1 & 0 & -3 & 9 \\ \boldblue{2} & \boldblue{7} & 14 & \boldblue{6} \\ 15 & -27 & 18 & 31\\ \boldblue{0} & \boldblue{1} & 19 & \boldblue{8}\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ \boldblue{5} & \boldblue{3} & -21 & \boldblue{9}\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end{array} \right);\; M=\left|\begin{array} {ccc} 2 & 7 & 6 \\ 0 & 1 & 8 \\ 5 & 3 & 9 \end{array} \right|. $$

Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.

Минор k-го порядка матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ называется главным , если на главной диагонали данного минора находятся только главные диагональные элементы матрицы $A$.

Напомню, что главными диагональными элементами именуют те элементы матрицы, у которых индексы равны: $a_{11}$, $a_{22}$, $a_{33}$ и так далее. Например, для рассмотренной выше матрицы $A$ такими элементами будут $a_{11}=-1$, $a_{22}=7$, $a_{33}=18$, $a_{44}=8$. На рисунке они выделены зелёным цветом:

$$\left(\begin{array} {cccc} \boldgreen{-1} & 0 & -3 & 9\\ 2 & \boldgreen{7} & 14 & 6 \\ 15 & -27 & \boldgreen{18} & 31\\ 0 & 1 & 19 & \boldgreen{8}\\ 0 & -12 & 20 & 14\\ 5 & 3 & -21 & 9\\ 23 & -10 & -5 & 58 \end{array} \right) $$

Например, если в матрице $A$ мы вычеркнем строки и столбцы с номерами 1 и 3, то на их пересечении будут расположены элементы минора второго порядка, на главной диагонали которого будут находиться только диагональные элементы матрицы $A$ (элементы $a_{11}=-1$ и $a_{33}=18$ матрицы $A$). Следовательно, мы получим главный минор второго порядка:

$$ M=\left|\begin{array} {cc} \boldgreen{-1} & -3 \\ 15 & \boldgreen{18} \end{array} \right| $$

Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, - например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.

Пусть некий минор $M$ k-го порядка матрицы $A_{m\times n}$ не равен нулю, т.е. $M\neq 0$. При этом все миноры, порядок которых выше k, равны нулю. Тогда минор $M$ называют базисным , а строки и столбцы, на которых расположены элементы базисного минора, именуют базисными строками и базисными столбцами .

Для примера рассмотрим такую матрицу:

$$A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 4 & 1 & 0\\ 1 & 0 & -2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) $$

Запишем минор этой матрицы, элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №3 и столбцов с №1, №3, №4. Мы получим минор третьего порядка (его элементы выделены в матрице $A$ фиолетовым цветом):

$$ \left(\begin{array} {ccc} \boldpurple{-1} & 0 & \boldpurple{3} & \boldpurple{0} & 0 \\ \boldpurple{2} & 0 & \boldpurple{4} & \boldpurple{1} & 0\\ \boldpurple{1} & 0 & \boldpurple{-2} & \boldpurple{-1} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right);\; M=\left|\begin{array} {ccc} -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{array} \right|. $$

Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков :

$$ M=\left| \begin{array} {ccc} -1 & 3 & 0\\ 2 & 4 & 1 \\ 1 & -2 & -1 \end{array} \right|=4+3+6-2=11. $$

Итак, $M=11\neq 0$. Теперь попробуем составить любой минор, порядок которого выше трёх. Чтобы составить минор четвёртого порядка, нам придётся использовать четвёртую строку, однако все элементы этой строки равны нулю. Следовательно, в любом миноре четвёртого порядка будет нулевая строка, а это означает, что все миноры четвёртого порядка равны нулю. Миноры пятого и более высоких порядков составить мы не можем, так как матрица $A$ имеет всего 4 строки.

Мы нашли минор третьего порядка, не равный нулю. При этом все миноры высших порядков равны нулю, следовательно, рассмотренный нами минор - базисный. Строки матрицы $A$, на которых расположены элементы этого минора (первая, вторая и третья), - базисные строки, а первый, третий и четвёртый столбцы матрицы $A$ - базисные столбцы.

Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель - наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.

Введём ещё одно понятие - окаймляющий минор.

Пусть некий минор k-го порядка $M$ матрицы $A_{m\times n}$ расположен на пересечении k строк и k столбцов. Добавим к набору этих строк и столбцов ещё одну строку и столбец. Полученный минор (k+1)-го порядка именуют окаймляющим минором для минора $M$.

Для примера обратимся к такой матрице:

$$A=\left(\begin{array} {ccccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & 12 & 20 & 21 & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right) $$

Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4. Эти элементы выделены в матрице красным цветом:

$$ \left(\begin{array} {ccccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred{-17} & -3 & \boldred{19} & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred{12} & 20 & \boldred{21} & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right);\; M=\left|\begin{array} {ccc} -17 & 19 \\ 12 & 21 \end{array} \right|. $$

Добавим к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, ещё строку №1, а к набору столбцов - столбец №5. Получим новый минор $M"$ (уже третьего порядка), элементы которого расположены на пересечении строк №1, №2, №5 и столбцов №2, №4, №5. Элементы минора $M$ на рисунке выделены красным цветом, а элементы, которые мы добавляем к минору $M$ - синим:

$$ \left(\begin{array} {ccccc} -1 & \boldblue{2} & 0 & \boldblue{-2} & \boldblue{-14}\\ 3 & \boldred{-17} & -3 & \boldred{19} & \boldblue{29}\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 19 & -20 & -98\\ 6 & \boldred{12} & 20 & \boldred{21} & \boldblue{54}\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right);\; M"=\left|\begin{array} {ccc} 2 & -2 & -14 \\ -17 & 19 & 29 \\ 12 & 21 & 54 \end{array} \right|. $$

Минор $M"$ является окаймляющим минором для минора $M$. Аналогично, добавляя к набору строк, на которых лежат элементы минора $M$, строку №4, а к набору столбцов - столбец №3, получим минор $M""$ (минор третьего порядка):

$$ \left(\begin{array} {ccccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & \boldred{-17} & \boldblue{-3} & \boldred{19} & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & \boldblue{11} & \boldblue{19} & \boldblue{-20} & -98\\ 6 & \boldred{12} & \boldblue{20} & \boldred{21} & 54\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right);\; M""=\left|\begin{array} {ccc} -17 & -3 & 19 \\ 11 & 19 & -20 \\ 12 & 20 & 21 \end{array} \right|. $$

Минор $M""$ также является окаймляющим минором для минора $M$.

Минор k-го порядка матрицы $A_{n\times n}$. Дополнительный минор. Алгебраическое дополнение к минору квадратной матрицы.

Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.

Пусть задан некий минор $M$ k-го порядка матрицы $A_{n\times n}$. Определитель (n-k)-го порядка, элементы которого получены из матрицы $A$ после вычеркивания строк и столбцов, содержащих минор $M$, называется минором, дополнительным к минору $M$.

Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка:

$$ A=\left(\begin{array}{ccccc} -1 & 2 & 0 & -2 & -14\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & -6 & 8 & -9 & 41\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right) $$

Выберем в ней строки №1 и №3, а также столбцы №2 и №5. На пересечении оных строк и столбцов будут элементы минора $M$ второго порядка. Эти элементы выделены в матрице $A$ зелёным цветом:

$$ \left(\begin{array}{ccccc} -1 & \boldgreen{2} & 0 & -2 & \boldgreen{-14}\\ 3 & -17 & -3 & 19 & 29\\ 5 & \boldgreen{-6} & 8 & -9 & \boldgreen{41}\\ -5 & 11 & 16 & -20 & -98\\ -7 & 10 & 14 & -36 & 79 \end{array} \right);\; M=\left|\begin{array}{cc} 2 & -14 \\ -6 & 41 \end{array} \right|. $$

Теперь уберём из матрицы $A$ строки №1 и №3 и столбцы №2 и №5, на пересечении которых находятся элементы минора $M$ (элементы убираемых строк и столбцов показаны красным цветом на рисунке ниже). Оставшиеся элементы образуют минор $M"$:

$$ \left(\begin{array}{ccccc} \boldred{-1} & \boldred{2} & \boldred{0} & \boldred{-2} & \boldred{-14}\\ 3 & \boldred{-17} & -3 & 19 & \boldred{29}\\ \boldred{5} & \boldred{-6} & \boldred{8} & \boldred{-9} & \boldred{41}\\ -5 & \boldred{11} & 16 & -20 & \boldred{-98}\\ -7 & \boldred{10} & 14 & -36 & \boldred{79} \end{array} \right);\; M"=\left|\begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19 \\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array}\right|. $$

Минор $M"$, порядок которого равен $5-2=3$, является минором, дополнительным к минору $M$.

Алгебраическим дополнением к минору $M$ квадратной матрицы $A_{n\times n}$ называется выражение $(-1)^{\alpha}\cdot M"$, где $\alpha$ - сумма номеров строк и столбцов матрицы $A$, на которых расположены элементы минора $M$, а $M"$ - минор, дополнительный к минору $M$.

Словосочетание "алгебраическое дополнение к минору $M$" часто заменяют словосочетанием "алгебраическое дополнение минора $M$".

Для примера рассмотрим матрицу $A$, для которой мы находили минор второго порядка $ M=\left| \begin{array} {ccc} 2 & -14 \\ -6 & 41 \end{array} \right| $ и дополнительный к нему минор третьего порядка: $M"=\left| \begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array} \right|$. Обозначим алгебраическое дополнение минора $M$ как $M^*$. Тогда согласно определению:

$$ M^*=(-1)^\alpha\cdot M". $$

Параметр $\alpha$ равен сумме номеров строк и столбцов, на которых находится минор $M$. Этот минор расположен на пересечении строк №1, №3 и столбцов №2, №5. Следовательно, $\alpha=1+3+2+5=11$. Итак:

$$ M^*=(-1)^{11}\cdot M"=-\left| \begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array} \right|. $$

В принципе, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков , можно довести вычисления до конца, получив значение $M^*$:

$$ M^*=-\left| \begin{array} {ccc} 3 & -3 & 19\\ -5 & 16 & -20 \\ -7 & 14 & -36 \end{array} \right|=-30. $$

Алгебраическое дополнение - понятие матричной алгебры; применительно к элементу aij квадратной матрицы А образуется путем умножения минора элемента aij на (1)i+j; обозначается Аij: Aij=(1)i+jMij, где Mij минор элемента aij матрицы A=, т.е. определитель… … Экономико-математический словарь

алгебраическое дополнение - Понятие матричной алгебры; применительно к элементу aij квадратной матрицы А образуется путем умножения минора элемента aij на (1)i+j; обозначается Аij: Aij=(1)i+jMij, где Mij минор элемента aij матрицы A=, т.е. определитель матрицы,… … Справочник технического переводчика

См. в ст. Определитель … Большая советская энциклопедия

Для минора М число, равное где М минор порядка k, расположенный в строках с номерами и столбцах с номерами некоторой квадратной матрицы Апорядка п; определитель матрицы порядка n k, полученной из матрицы Авычеркиванием строк и столбцов минора М;… … Математическая энциклопедия

В Викисловаре есть статья «дополнение» Дополнение может означать … Википедия

Операция, к рая ставит в соответствие подмножеству Мданного множества Xдругое подмножество так, что если известны Ми N, то тем или иным способом может быть восстановлено множество X. В зависимости от того, какой структурой наделено множество X,… … Математическая энциклопедия

Или детерминант, в математике запись чисел в виде квадратной таблицы, в соответствие которой ставится другое число (значение определителя). Очень часто под понятием определитель имеют в виду как значение определителя, так и форму его записи.… … Энциклопедия Кольера

О теореме из теории вероятностей см. статью Локальная теорема Муавра Лапласа. Теорема Лапласа одна из теорем линейной алгебры. Названа в честь французского математика Пьера Симона Лапласа (1749 1827), которому приписывают формулирование… … Википедия

- (Laplacian matrix) одно из представлений графа с помощью матрицы. Матрица Кирхгофа используется для подсчета остовных деревьев данного графа (матричная теорема о деревьях), а также используется в спектральной теории графов. Содержание 1… … Википедия

Уравнением называется математическое соотношение, выражающее равенство двух алгебраических выражений. Если равенство справедливо для любых допустимых значений входящих в него неизвестных, то оно называется тождеством; например, соотношение вида… … Энциклопедия Кольера

Книги

• Дискретная математика , А. В. Чашкин. 352 стр. Учебник состоит из 17 глав по основным разделам дискретной математики: комбинаторному анализу, теории графов, булевым функциям, сложности вычисления и теории кодирования. Содержит…

Задача 1.

Для данного определителя

найти миноры и алгебраические дополнения элементов α 12 , α 32 . Вычислить определитель: а) разложив его по элементам первой строки и второго столбца; б) получив предварительно нули в первой строке.

Находим:

М 12 =
= –8–16+6+12+4–16 = –18,

М 32 =
= –12+12–12–8 = –20.

Алгебраические дополнения элементов а 12 и а 32 соответственно равны:

А 12 = (–1) 1+2 М 12 = –(–18) = 18,

А 32 = (–1) 3+2 М 32 = –(–20) = 20.

а) Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:

A 11 А 11 + a 12 А 12 + a 13 А 13 + a 14 А 14 = –3
–2 +

1
= – 3(8 + 2 + 4 – 4) – 2(– 8 – 16 + 6 + 12 + 4 – 16) + (16 – 12 – – 4 + 32) = 38;

Разложим определитель по элементам второго столбца:

= – 2 – 2
+ 1
= – 2(– 8 + 6 – 16 + + 12 + 4 – 16) – 2(12 + 6 – 6 – 16) + (– 6 + 16 – 12 – 4) = 38;

б) Вычислим , получив предварительно нули в первой строке. Используем соответствующее свойство определителей. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому, затем умножим на –2 и прибавим ко второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме одного, будут нулями. Разложим полученный таким образом определитель по элементам первой строки и вычислим его:

= =
=
=
=

= – (– 56 + 18) = 38.

(В определителе третьего порядка получили нули в первом столбце по тому же самому, что и выше свойству определителей.) ◄

Задача 2.

Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений

Проверить, совместна ли эта система, и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса.

Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера – Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы

А =

данной системы и ранг расширенной матрицы

В =

.

Для этого умножим первую строку матрицы В на –2 и сложим со второй, затем умножим первую строку на –3 и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим

В =

~

~
.

Следовательно, rang А = rang В = 3 (т. е. числу неизвестных). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.

а) По формулам Крамера

x = x / , y = y / , z = z/ ,

=
= – 16;

x =
= 64;

y =
= – 16;

z =
= 32,

находим: x = 64/(– 16) = – 4, y = – 16/(– 16) = 1, z = 32/(– 16)= – 2;

б) Для нахождения решения системы с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме АХ = . Решение системы в матричной форме имеет вид х = А –1 . По формуле находим обратную матрицу А –1 (она существует, так как = dеt A = – 16 ≠ 0):

A 11 =
= – 15, A 21 = –
= 16, A 31 =
= – 11,

A 12 = –
= – 3, A 22 =
= 0, A 32 = –
= 1,

A 13 =
= – 14, A 23 = –
= 16, A 33 =
= – 6,

A –1 =

.

Решение системы:

X = =
=
=

.

Итак, x = –4, y = 1, z = –2;

в) Решим систему методом Гаусса. Исключим x из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:

Из полученной системы находим x = – 4, y = 1, z = –2. ◄

Задача 5.

Вершины пирамиды находятся в точках А(2; 3; 4), В(4; 7; 3), С(1; 2; 2) и D(– 2; 0; – 1). Вычислить: а) площадь грани ABC ; б) площадь сечения, проходящего через середину ребер АВ , AC , AD ; в) объем пирамиды ABCD .

А) Известно, что S ABC =
. Находим:
= (2; 4; – 1) ,

= (– 1; – 1; – 2) ,

=
= – 9 i + 5 j + 2 k .

Окончательно имеем:

S ABC =
=
;

б) Середины ребер АВ , ВС и А D находятся в точках К (3; 5; 3,5),

М (1,5; 2,5; 3), N (0; 1,5; 1,5) . Далее имеем:

S сеч =
,
= (– 1,5; – 2,5; – 0,5),
= (– 3; – 3,5; – 2),

=
= 3,25i – 1,5j – 2,25k ,

S сеч =
=
;

в) Поскольку V пир =
,
= (– 4; – 3; – 5),

=
= 11, то V = 11/6 . ◄

Задача 6

Сила F = (2; 3;– 5) приложена к точке А(1; – 2; 2) . Вычислить: а) работу силы F в случае, когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А в положение В(1; 4; 0) ; б) модуль момента силы F относительно точки В .

А) Так как А = F · s , s =
= (0; 6; – 2) ,

то F · = 2·0 + 3·6 + (– 5)(– 2) = 28; А = 28;

б) Момент силы М =
,
= (0; – 6; 2) ,

=
= 24 i + 4 j + 12 k .

Следовательно, =
= 4
. ◄

Задача 8.

Известны вершины О(0; 0), A (– 2; 0) параллелограмма ОАС D и точка пересечения его диагоналей В(2;–2) . Записать уравнения сторон параллелограмма.

Уравнение стороны ОА можно записать сразу: y = 0 . Далее, так как точка В является серединой диагонали AD (рис. 1), то по формулам деления отрезка пополам можно вычислить координаты вершины D (x ; y ) :

2 =
, –2 =
,

откуда x = 6 , y = –4 .

Теперь можно найти уравнения всех остальных сторон. Учитывая параллельность сторон OA и CD , составляем уравнение стороны CD : y = –4 . Уравнение стороны OD составляется по двум известным точкам:

=
,

откуда y = – x , 2 x + 3 y = 0 .

Наконец, находим уравнение стороны AC , учитывая тот факт, что она проходит через известную точку А (– 2; 0) параллельно известной прямой OD :

y – 0 = – (x + 2) или 2 x + 3 y + 4 = 0 . ◄

Задача 9.

Даны вершины треугольника ABC : A (4; 3), B (– 3; – 3), C (2; 7) . Найти:

а) уравнение стороны AB ;

б) уравнение высоты CH ;

в) уравнение медианы AM ;

г) точку N пересечения медианы AM и высоты CH ;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB ;

е) расстояние от точки C до прямой AB .

А) Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки , получим уравнение стороны AB :

=
,

откуда 6(x – 4) = 7(y – 3) или 6 x – 7 y – 3 = 0 ;

б) Согласно уравнению

y = kx + b (k = tg α ) ,

угловой коэффициент прямой AB k 1 =6/7 . С учетом условия перпендикулярности прямых AB и CH угловой коэффициент высоты CH k 2 = –7/6 (k 1∙ k 2 = –1). По точке C (2; 7) и угловому коэффициенту k 2 = –7/6 составляем уравнение высоты CH : (y – y 0 = k (x – x 0 ) )

y – 7 = – (x – 2) или 7 x + 6 y – 56 = 0 ;

в) По известным формулам находим координаты x , y середины M отрезка BC :

x = (– 3 + 2)/2 = –1/2, y = (– 3 + 7)/2 = 2.

Теперь по двум известным точкам A и M составляем уравнение медианы AM :

=
или 2 x – 9 y + 19 = 0 ;

г) Для нахождения координат точки N пересечения медианы AM и высоты CH составляем систему уравнений

Решая её, получаем N (26/5; 49/15) ;

д) Так как прямая, проходящая через вершину C , параллельна стороне AB , то их угловые коэффициенты равны k 1 =6/7 . Тогда, согласно уравнению:

y – y 0 = k (x – x 0 ) , по точке C и угловому коэффициенту k 1 составляем уравнения прямой CD :

y – 7 = (x – 2) или 6 x – 7 y + 37 = 0 ;

е) Расстояние от точки C до прямой AB вычисляют по известной формуле:

d = | CH | =

Решение данной задачи проиллюстрировано на рис. 2 ◄

Задача 10.

Даны четыре точки A 1 (4; 7; 8), A 2 (– 1;13; 0), A 3 (2; 4; 9), A 4 (1; 8; 9) . Составить уравнения:

а) плоскости A 1 A 2 A 3 ; б) прямой A 1 A 2 ;

в) прямой A 4 M , перпендикулярной к плоскости A 1 A 2 A 3 ;

г) прямой A 4 N , параллельной прямой A 1 A 2 .

Вычислить:

д) синус угла между прямой A 1 A 4 и плоскостью A 1 A 2 A 3 ;

е) косинус угла между координатной плоскостью О xy и плоскостью А 1 А 2 А 3 .

А) Используя формулу уравнения плоскости по трем точкам , составляем уравнение плоскости А 1 А 2 А 3 :

откуда 6х – 7у – 9z + 97 = 0 ;

б) Учитывая уравнения прямой, проходящей через две точки , уравнения прямой А 1 А 2 можно записать в виде

=
=
;

в) Из условия перпендикулярности прямой А 4 М и плоскости А 1 А 2 А 3 следует, что в качестве направляющего вектора прямой s можно взять нормальный вектор n = (6; – 7; – 9) плоскости А 1 А 2 А 3 . Тогда уравнение прямой А 4 М с учетом канонических уравнений прямой запишется в виде

=
=
;

г) Так как прямая A 4 N параллельна прямой А 1 А 2 , то их направляющие векторы s 1 и s 2 можно считать совпадающими: s 1 =s 2 = (5; – 6; 8) . Следовательно, уравнение прямой A 4 N имеет вид

=
=
;

д) По формуле нахождения величины угла между прямой и плоскостью

sin φ =

е) В соответствии с формулой нахождения величины угла между плоскостями

cos φ =
=
◄

Задача 11.

Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M (4; 3; 1) и

N (– 2; 0; – 1) параллельно прямой, проведенной через точки A (1; 1; – 1) и

B (– 3; 1; 0).

Согласно формуле уравнения прямой в пространстве , проходящей через две точки, уравнение прямой AB имеет вид

=
=
.

Если плоскость проходит через точку M (4; 3; 1) , то её уравнение можно записать в виде A (x – 4) + B (y – 3) + C (z – 1) = 0 . Так как эта плоскость проходит и через точку N (– 2; 0; – 1) , то выполняется условие

A(– 2 – 4) + B(0 – 3) + C(– 1 – 1) = 0 или 6A + 3B + 2C = 0 .

Поскольку искомая плоскость параллельна найденной прямой AB , то с учетом формул условия параллельности прямой и плоскости имеем:

–4A + 0B + 1C = 0 или 4A – C = 0 .

Решая систему

находим, что C = 4 A , B = – A . Подставим полученные значения С и B в уравнение искомой плоскости, имеем

A(x – 4) – A(y – 3) + 4A(z – 1) = 0 .

Так как A ≠ 0 , то полученное уравнение эквивалентно уравнению

3(x – 4) – 14(y – 3) + 12(z – 1) = 0 . ◄

Задача 12.

Найти координаты x 2 , y 2 , z 2 точки M 2 , симметричной точке M 1 (6; – 4; – 2) относительно плоскости x + y + z – 3 = 0 .

Запишем параметрические уравнения прямой M 1 M 2 , перпендикулярной к данной плоскости: x = 6 + t , y = – 4 + t , z = – 2 + t . Решив их совместно с уравнением данной плоскости, найдем t = 1 и, следовательно, точку M пересечения прямой M 1 M 2 с данной плоскостью: M (7; – 3; – 1) . Так как точка M является серединой отрезка M 1 M 2 , то верны равенства.; в) параболы, имеющей директрису b