Квантовый шум. Квантование по уровню в цифровых системах. Квантовые шумы, как они есть

Погрешности преобразования входного сигнала из аналоговой формы в цифровую возникает при квантовании сигнала на конечное, ограниченное число уровней. Чтобы выявить характер этой погрешности приведем структурную схему (рис.1.10) и выделим из нее два устройства: аналогово-цифровой преобразователь (АЦП) и цифро-аналоговый преобразователь (ЦАП).

Рис.1.10. Функциональная схема преобразования аналог-цифра и обратно – цифра-аналог

Рассмотрим сначала совместную работу этих устройств без учета цифрового фильтра при подаче на вход АЦП постоянного напряжения различного уровня u 1 (рис. 1.11, а).

Рис. 1.11 Преобразование аналог-цифра и цифра-аналог (а), характеристика квантования (б) и ошибка квантования (в)

Основным параметром АЦП является число разрядов, используемых для кодирования входного напряжения. При двоичном коде число разрядов определяется числом триггеров регистра, каждый из которых может находиться в одном из двух состояний: с нулевым или ненулевым напряжением на выходе. Одному из этих состояний условно приписывается нуль, а другому - единица. При числе двоичных элементов r на выходе АЦП получается комбинация (кодовое число) из r символов, каждый из которых может принимать одно из двух значений (нуль или единица).

Число возможных различных комбинаций L= 2 r и определяет число дискретных уровней, на которое может быть разбит диапазон изменения входного напряжения.

В ЦАП осуществляется обратное преобразование. Каждой комбинации нулей и единиц, поступающих на вход ЦАП, соответствует определенный дискретный уровень выходного напряжения. В результате при равномерном шаге квантования А зависимость u 2 от u 1 приобретает вид ломаной линии, показанной на рис. 1.11, б.

Устройство, обладающее подобной характеристикой, должно рассматриваться как нелинейное, а разность u 2 -u 1 =q - как ошибка, погрешность квантования. Видно, что наибольшая ошибка, по абсолютной величине не превышающая Δ/2, с возрастанием u 2 остается неизменной (рис. 1.11, в).

Предположим, что входное колебание s(t) является гармоническим (рис. 1.12, а). Колебание s вы x (t) приобретает ступенчатую форму, отличающуюся от входного колебания s (t) (рис. 1.12, б, тонкая линия), а ошибка квантования принимает вид функции

представленной на рис. 1.12, в.

Рис 1.12. Сигнал на входе (а) и выходе (б) квантующего устройства; помеха квантования

При изменении в широких пределах амплитуды и частоты гармонического колебания s(t) изменяется только частота следования зубцов: форма их остается близкой к треугольной при неизменной амплитуде Δ/2. Функцию q (t) можно назвать помехой или шумом квантования. Нетрудно вычислить среднюю мощность шума квантования. При допущении треугольной формы зубцов (рис. 1.11, в) с амплитудой Δ/2 средняя длительность одного зубца мощность равна (1/3) (Δ/2) 2 = Δ 2 /12. Так как эта величина не зависит от длительности зубца, можно считать, что средняя мощность шума квантования

Этот результат, выведенный для гармонического сигнала, можно распространить и на любой другой сигнал, в том числе и случайный. Отличие лишь в том, что функция q (t) будет случайным процессом из-за случайной длительности зубцов.

Нетрудно вычислить и отношение сигнал/помеха при квантовании. При высоте ступени Δ и общем числе ступеней, укладывающихся в пределах характеристики АЦП, равном L, амплитуда гармонического сигнала не должна превышать величины LΔ/2, а средняя мощность сигнала - величины 1/2(LΔ/2) 2 (во избежание ограничения сигнала). Следовательно, отношение сигнал/помеха при квантовании гармонического колебания

Так как число уровней L связано с числом двоичных разрядов r соотношением L = 2 r , то последнее выражение можно представить в виде

Это соотношение можно рассматривать как частный случай общего выражения

где K пф - пик фактор сигнала, т. е. отношение максимального значения к среднеквадратическому.

При гармоническом колебании , что и приводит к выражению (1.26); при случайном сигнале с нормальным законом распределения K пф может быть принят 2,5-3. В этом случае , a среднеквадратическое напряжение сигнала не должно превышать ~LΔ/6.

Физический смысл выражения (1.27) очевиден: с увеличением числа разрядов r очень быстро возрастает число дискретных уровней, приходящихся на заданный диапазон изменения s(t), и, следовательно, снижается перепад Δ двух соседних уровней.

При грубой оценке превышения сигнала над шумом квантования исходят из соотношения или, в децибелах:

В современных АЦП число разрядов достигает десяти и более. При этом величина , характеризующая динамический дапазон АЦП, равна примерно 60 д Б (6 д Б на один разряд).

Другой важной характеристикой шума квантования является его спектральная характеристика. При гармоническом колебании на входе АЦП помеха квантования является периодической функцией времени. Спектр ее является линейчатым, содержащим только частоты, кратные частоте входного колебания. Из-за зубчатой формы функции q (t) (см. рис. 1.12, в) спектр шума содержит высшие гармоники.

При входном воздействии типа случайного процесса с дисперсией и со среднеквадратической шириной спектра f SCK статистические характеристика шума квантования зависят не только от характеристик исходного процесса s(t), но и от соотношения между и Δ. В частности, при ширина f q CK спектра шума квантования W q (ω) во много раз больше ширины f S CK спектра процесса s (t).

Введем в рассмотрение дискретизацию входного сигнала. На рис. 1.13 представлены одна из реализаций случайного сигнала s(t) и совокупность выборок, взятых с шагом Т. В АЦП каждая выборка преобразуется в цифровой код.

При правильно выбранной частоте дискретизации, исходя из теоремы Котельникова, точность преобразования аналогового ЗС в цифровой определяется величиной шага квантования.Погрешность преобразования тем меньше, чем меньше шаг квантования. Разность между исходным и квантованным значениями сигнала в дискретные моменты времени называется шумом квантования (ошибкой квантования).

Шум квантования в отличие от флуктуационного шума, в общем случае, носит неслучайный характер. Поэтому правильнее говорить об искажениях сигнала при его аналого-цифровом преобразовании. При фиксированном максимальном уровне входного аналогового ЗС шум квантования определяется числом уровней квантования – разрядностью аналого-цифрового преобразователя (АЦП).

При кодировании двоичными числами и длине кодового слова в m разрядов количество двоичных кодовых слов r (разрешающая способность) составляет. Так при m=16, r=65536.

Поток кодовых слов на выходе АЦП характеризуется скоростью передачи данных – число бит информации переданных за 1 секунду. Скорость передачи данных есть произведение числа разрядов кодового слова на частоту дискретизации (в герцах). Объем памяти необходимый для хранения информации о реализации ЗС длительностью, определяется как произведение скорости потока данных на длительность сигнала.

При линейной импульсно-кодовой модуляции (ИКМ), т.е. при равномерном шаге квантования, мощность шума квантования определяется только шагом квантования:

где - общий динамический диапазон сигнала.

Эффективное значение ошибки квантования:

Шум квантования представляет собой, при линейной ИКМ, случайный процесс с равномерным расширением в пределах, с плотностью вероятности. Спектр шума квантования равномерный в полосе частот.

Шум квантования проявляется только при наличии сигнала. При отсутствии сигнала на входе АЦП на выходе АЦП будут иметь место квантование колебания в младшем разряде АЦП. Объясняется это наличием теплового шума входных аналоговых частей АЦП, нестабильностью питающего напряжения, дрейфом постоянной составляющей в усилителях постоянного тока и другими причинами. На выходе ЦАП (цифро-аналогового преобразователя) это квантованное колебание превращается в шум, называемый шумом паузы. Шум паузы менее равномерный, чем белый шум, характерный для аналоговых устройств, и его часто называют гранулированным. Мощность шума паузы:

на 4,7 дБ больше шума квантования.

Поскольку не зависит от уровня входного сигнала, с увеличением мощности входного отношение линейно растет до тех пор пока не возникают шумы ограничения. Уровень ограничения по входу АЦП определяется максимальным входным рабочим напряжением АЦП. Шумом ограничения называется разность между исходным и ограниченным сигналами. Система АЦП рассчитывается таким образом, чтобы ограничения не возникало т.е.

здесь R- пик-фактор сигнала; S СР – среднеквадратическое значение сигнала.

Число шагов можно определить из соотношения:

где - максимальное и минимальное значения сигнала на входе АЦП;

Шаг квантования.

С учетом выражений (9.6), (9.9),(9.10) получим выражение для мощности шума

Мощность сигнала на сопротивлении 1 Ом,тогда

или в децибелах

При m- разрядном кодировании, тогда

У гармонического сигнала пик-фактор, в этом случае

Для сигналов вещания пик-фактор зависит от жанра программы. Если в среднем считать R=13 дБ то

Если учитывать неодинаковую чувствительность слуха слушателя к составляющим шума разных частот, то отношение сигнал/шум квантования уменьшается на 8.5 дБ для сигнала в полосе частот до 15 кГц и составляет

Динамический диапазон цифрового сигнала оценивают величиной, дБ с учетом того, что получаем

Из выражения (9.15) видно, что увеличение числа разрядов на единицу приводит к улучшению отношения сигнал/шум на 6 дБ.

На рис.9.2. изображены зависимости отношения сигнал/шум для сигналов 3В при разных значениях m от уровня входного сигнала (9.17).

При 16-разрядном квантовании имеем для гармонического сигнала D=90 дБ, С-Ш=98 Б (из выражений 9.15, 9.18). Отношение С-Ш при расчете по формуле (9.17) получается равным 80дБ при кодировании сигнала максимального по уровню. При кодировании слабых сигналов отношение С-Ш меньше на величину динамического диапазона сигнала и оказывается весьма малым при D=50…60 дБ.

80 -70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

Рис.9.2. Отношение сигнал/шум при ИКМ

Однако логично предположить, что промежуточные участки волны, которые оцифровщику не удалось достоверно отобразить, не могут просто так исчезнуть.

Шумы квантования

Между аналоговым сигналом и его цифровой копией в вашей системе записи существует разница, которая называется ошибками квантования , или шумами квантования .

С помощью несложных математических формул можно вычислить частоту и уровень громкости шумов квантования. Также их характер можно проследить наглядно, если проанализировать отклонения графика оцифрованной волны от оригинальной синусоиды. На рисунке справа показана разница между исходным и оцифрованным сигналом.

Шумы квантования - это неотъемлемая составляющая цифрового звука, они возникают в момент оцифровки. Для минимизации влияния этих шумов на звук в конструкциях конверторов используются специальные фильтры. Покупая оцифровщик с более дорогими характеристиками (например, 24 /192 ), многие не обращают внимания качество этих фильтров, ориентируясь лишь на красивые численные характеристики разрядности и частоты дискретизации.

Чем выше показатели конвертора , тем дороже должны быть фильтры , однако именно на них производители обычно экономят, чтобы сохранить себестоимость на низком уровне и обеспечить себе конкурентоспособность.

Алиасинг

Еще одна неприятная вещь, которая может произойти в процессе семплирования (оцифровки) звука, называется алиасингом. Алиасинг - наложение двух непрерывных сигналов разной частоты друг на друга при семплировании, в результате которого в звуке возникают искажения.

Мы можем представить алиасинг даже визуально. Вспомните вращение колес автомобилей или поездов в старых фильмах. В определенные моменты можно отчетливо заметить, что колеса как бы крутятся в обратную сторону. И это не обман зрения, этот эффект появляется в моменты, когда частота вращения колес приближается к кадровой частоте кинокамеры (обычно это 24 кадра в секунду, но когда-то это значение было на уровне 16-20). Каждая точка колеса, двигаясь по часовой стрелке, успевает пройти почти полный оборот за один кадр, оказываясь с обратной стороны исходной точки, как будто эта точка сдвинулась против часовой стрелки. И мы видим обратное вращение.

В результате алиасинга записанный сигнал отличается от ожидаемого.

В соответствии с теоремой Котельникова , для восстановления сигнала без потерь семплирование должно производиться с частотой, в два раза превышающей самую высокую частоту в записываемом спектре.

То есть, скажем, если максимальная скорость вращения колес составляет 10 оборотов в секунду, то для устранения эффекта алиасинга фиксировать этот движение нужно с частотой не менее 20 кадров в секунду. А кинокамера – этот тот же семплер, только записывающий не звук, а изображение. При указанных значениях, как бы ни крутилось колесо, камера за один его оборот успеет сделать два семпла, а значит обратного вращения мы уже не увидим.

Так что если нам надо записать звук в пределах 20 кГц (верхний порог идентифицируемых человеческим ухом частот), то семплирование должно происходить с частотой дискретизации не менее 40 кГц.

При этом половина частоты дискретизации называется числом Найквиста (Найквист и Котельников – ученые, которые независимо друг от друга занимались исследованиями данной проблемы).

Однако мы знаем, что даже если наше ухо не распознает какие-то частоты, это еще не значит, что их нет. А раз они есть, то семплер (оцифровщик) попытается их зафиксировать, работая при этом на недостаточной для записи этого спектра частоте дискретизации. И возникнет алиасинг.

Чтобы устранить негативный эффект от алиасинга, при семплировании требуется частота дискретизации с запасом более чем в два раза . Кроме того, необходимо на входе оцифровщика применять фильтры , отсекающие нежелательные частоты выше определенного значения.

Именно поэтому используемые в звукозаписи «стандартные» частоты дискретизации выше 40 кГц – 44.1 и 48 кГц: такое семплирование обеспечивает запас для устранения искажений.

В можно поочередно услышать «хорошую» и «плохую» запись пилообразной волны на частотах 440, 880 и 1760 Гц. В первом варианте были применены фильтры, а во втором отчетливо слышен алиасинг.

Сегодня уже никого не удивишь даже значениями 32 бита или 96–192 кГц. С каждым годом производители «улучшают» характеристики приборов. Но поскольку, как я уже говорил, для фильтрации более высоких частот требуются более качественные и дорогие фильтры, нередко получается, что конвертор, работающий в режиме 16/44.1, дает более качественный звук, чем конвертор 24/192. Шумы квантования, алиасинг и отсутствие хороших фильтров делают свое дело. И это мы еще опускаем возможные погрешности, связанные с повышенной нагрузкой на систему при работе с более высокими параметрами звука.

Если статья оказалась полезной, вы можете подписаться на обновления этого блога , чтобы бесплатно получать новые материалы на электронную почту. Или вступайте

В зависимости от типа аналого-цифрового преобразования могут возникать из-за округления (до определённого разряда) сигнала или усечения (отбрасывания младших разрядов) сигнала.

Математическое описание

Модель

Шум квантования можно представить как аддитивный дискретный сигнал $e(nT)$, учитывающий ошибки квантования. Если $d(nT)$ - входной сигнал квантователя, а $F[\backslash ,]$ - его передаточная функция , то имеем следующую линейную модель шума квантования:

$e(nT)\; =\; F\; -\; d(nT)$

Линейная модель используется для аналитического исследования свойств шума квантования.

Детерминированные оценки

Детерминированные оценки позволяют определить абсолютные границы шума квантования в случае равномерного квантования:

$|max|\; =\; \backslash frac\{1\}\{m\}\; 2^\{-b\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{m\}\; Q$,

где $b$ - число разрядов квантования (сигнала $e(nT)$), $Q$ - шаг квантования $m\; =\; 2$ - при округлении $m\; =\; 1$ - при усечении.

Вероятностные оценки

Вероятностные оценки основаны на представлении ошибок квантования (сигнала $e(nT)$) как случайного шумоподобного процесса. Допущения, вводимые относительно шума квантования:

• Последовательность $e(nT)$ является стационарным случайным процессом
• Последовательность $e(nT)$ не коррелирована с квантуемым сигналом $d(nT)$
• Любые два отсчёта последовательности $e(nT)$ не коррелированы, то есть шум квантования является процессом типа «белый шум ».
• Распределение вероятности ошибок квантования является равномерным по диапазону ошибок квантования.

• $M\_e\; =\; -0,5Q$
• $D\_e\; =\; Q^2/12$

См. также

Напишите отзыв о статье "Шум квантования"

Литература

• Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д. Цифровая обработка сигналов - М .: Радио и связь, 1985.

Ссылки

• (англ.)

Отрывок, характеризующий Шум квантования

Когда Наташа привычным движением отворила его дверь, пропуская вперед себя княжну, княжна Марья чувствовала уже в горле своем готовые рыданья. Сколько она ни готовилась, ни старалась успокоиться, она знала, что не в силах будет без слез увидать его.
Княжна Марья понимала то, что разумела Наташа словами: сним случилось это два дня тому назад. Она понимала, что это означало то, что он вдруг смягчился, и что смягчение, умиление эти были признаками смерти. Она, подходя к двери, уже видела в воображении своем то лицо Андрюши, которое она знала с детства, нежное, кроткое, умиленное, которое так редко бывало у него и потому так сильно всегда на нее действовало. Она знала, что он скажет ей тихие, нежные слова, как те, которые сказал ей отец перед смертью, и что она не вынесет этого и разрыдается над ним. Но, рано ли, поздно ли, это должно было быть, и она вошла в комнату. Рыдания все ближе и ближе подступали ей к горлу, в то время как она своими близорукими глазами яснее и яснее различала его форму и отыскивала его черты, и вот она увидала его лицо и встретилась с ним взглядом.

Основным аспектом расчета и разработки инженерных проектов является необходимость использования аналитических характеристик качества функционирования систем. Только при наличии таких характеристик система может быть объективно оценена и ее стоимость эффективно сопоставлена со стоимостью альтернативных разработок. Одной из характеристик, наобходимой для инженеров телефонной связи, является качество речи, доставляемой слушателю. Измерения качества речи усложняются из-за субъективных свойств речи, которые воспринимаются типовым слушателем. Одна из особенностей субъективного восприятия шумов или искажений в речевом сигнале связана с частотным составом, или спектром мешающих воздействий в сочетании с уровнем их мощности. Эти эффекты влияния шумов в зависимости от частоты были рассмотрены в гл.1 при введении понятий взвешивания при помощи С-контура и псофометрического взвешивания.

Последовательные ошибки квантования в ИКМ-кодере в общем случае предполагаются распределенными по случайному закону и не коррелированными друг с другом. Таким образом, совокупный эффект ошибок квантования в системах с ИКМ можно рассматривать как аддитивные шумы, имеющие субъективное воздействие, которое аналогично воздействию белого шума с ограниченной полосой. На рис. 3.9 представлена зависимость ошибок кванования от амплитуды сигнала для кодера с равномерными шагами квантования. Отметим, что если сигнал успевает измениться по амплитуде на несколько шагов квантования, ошибки квантования становятся независимыми. Если сигнал дискретизируется с частотой, намного превышающей f s , то последовательные дискреты будут часто приходиться на одни и те же шаги, что приведет к потере независимости ошибок квантования.

Ошибки, или шум квантования, возникающие при преобразовании аналогово сигнала в цифровую форму, обычно выражаются в виде средней мощности шума по отношению к средней мощности сигнала. В соответствии с этим отношение сигнал-шум квантования можно определить как

ОСШК=E{x 2 (t)}/E{ 2 }, (3.1)

где E{. } – математическое ожидание, или среднее значение,x(t) – аналоговый входной сигнал,y(t) – декодированный выходной сигнал.

При определении среднего значения шума квантования необходимо сделать три замечания.

Ошибка y(t) –x(t) ограничена по амплитуде значениемq/2, гдеq– шаг квантования. (Декодированные выходные дискреты располагаются точно посредине шага квантования.)

Можно предположить, что значения дискретов с равной вероятностью могут попадать в любую точку в пределах шага квантования (предполегается равномерная плотность вероятности, равная 1/q).

Предполагается, что амплитуды сигнала ограничены рабочим диапазоном кодера. Если значение дискрета превышает границу наивысшего шага квантования, то возникают искажения, вызванные перегрузкой.

Если для удобства предположим, что нагрузочный резистор имеет сопротивление 1 Ом, то средняя мощность шума квантования (вычислена в приложении А) определяется выражением:

Мощность шума квантования = q 2 /12. (3.2)

Если все шаги квантования имеют равные значения (равномерное квантование) и шум квантования не зависит от значений дискретов, то отношение сигнал-шум квантования (в децибелах) определяется как

ОСШК = 10lg = 10,8 + 20lg(v/q), (3.3)

где v– среднее квадратическое значение амплитуды входного сигнала. В частности, для синусоидального входного сигнала отношение сигнал-шум квантования (в децибелах) при равномерном квантовании

ОСШК = 10lg[(А 2 /2)/(q 2 /12)] = 7,78 + 20lg(А/q), (3.4)

где А – амплитуда синусоиды.

Пример 3.1 Синусоидальный сигнал с амплитудой 1 В следует преобразовать в цифровую форму таким образом, чтобы получить отношение сигнал-шум квантования не менее 30 дБ. Сколько потребуется одинаковых шагов квантования и сколько потребуется разрядов для кодирования каждого дискрета?

Решение. С помощью формулы (3.4) определяем максимальный размер шага квантованияq=10 – (30 – 7,78) / 20 = 0,078B.

Таким образом, потребуется 13 шагов квантования для каждой полярности сигнала (общее число шагов квантования 26). Число разрядов, необходимых для кодирования каждого дискрета, определяется как n=log 2 26 = 4,75 разрядов на дискрет.

При измерениях мощности шума квантования спектральные составляющие часто взвешивают тем же способом, что и шумы в аналоговых каналах. К сожалению, измерения взвешенных шумов не всегда отражают подлинное качество восприятия речи, прошедшей кодер (декодер). Если спектральное распределение шумов квантования более или менее повторяет спектральное распределение сигнала речи, эти шумы значительно менее заметны, чем шумы, некоррелированные с речью . С другой стороны, если процесс квантования создает энергию на тональных частотах, отличных от тех, которые содержатся в конкретных звуках, эти искажения становятся более заметными.

Высококачественные ИКМ-кодеры создают шум квантования, который равномерно распределен в диапазоне ТЧ и не зависит от кодируемого сигнала. В этом случае отношение сигнал-шум квантования (3.4) является хорошей мерой качества ИКМ-преобразования. В некоторых видах кодеров, рассматриваемых далее (в особенности в вокодерах), знание мощности шума квантования не приносит большой пользы. В описаны другие характеристики качества речи, прошедшей через кодер, которые лучше определяют восприятие речи слушателем.