Спектральная плотность. Методы оценки спектральной плотности мощности сигнала Спектральная плотность мощности случайного сигнала

Лекция 7.

СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль) реализаций, необходимо иметь в виду, что реализациям, обладающим различной формой, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности по всем реализациям приводит к нулевому спектру процесса (при среднем = 0) из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях. Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности среднего квадрата случайной величины, поскольку величина среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случайной функцией x(t) подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от механизма образования случайного процесса. Спектральная плотность средней мощности представляет собой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте ω . Введенную таким образом спектральную плотность S (ω) в дальнейшем будем называть энергетическим спектром функции x (t ) . Смысл такого названия определяется размерностью функции S (ω) , являющейся отношением мощности к полосе частот:

[S (ω) ] = [ мощность/ полоса частот ] = [мощность×время] = [энергия],

Энергетический спектр можно найти, если известен механизм образования случайного процесса. Здесь же мы ограничимся некоторыми определениями общего характера.

Методы вычисления СПМ

Функции спектральной плотности можно определять тремя различными эквивалентными способами, которые мы рассмотрим ниже:

С помощью ковариационных функций;

С помощью финитного преобразования Фурье;

С помощью фильтрации, возведения в квадрат и усреднения.

Определение спектров с помощью корреляционных функций.

Исторически первый способ определения спектральной плотности появился в математике. Он состоит во взятии преобразования Фурье от предварительно вычисленной корреляционной функции. После вычитания средних значений такие (бесконечные) преобразования Фурье обычно существуют, даже если (бесконечное) преобразование Фурье исходного процесса не существует. Этот подход дает двустороннюю спектральную плотность, определенную для частот f от - до + и обозначаемую S (f ) .

Пусть существуют корреляционные и взаимная корреляционная функции R x (t ), R y (t ) и R xy (t ) . Предположим также, что конечны интегралы от их абсолютных величин

R ( d

На практике эти условия всегда выполняются для реализаций конечной длины. Тогда ПФ функций R (t ) существуют и определяются формулами

S x (f)=

S y (f)=(1)

S xy (f)=

Такие интегралы по конечным реализациям существуют всегда. Функции S x (f ) и S y (f ) называют функциями спектральной плотности процессов x (t ) и y (t ) соответственно или просто спектральными плотностями, а функцию называют взаимной спектральной плотностью двух процессов x (t ) и y (t ) .

Обратные ПФ от формул (1) дают

R x (τ ) =

R y (τ ) = (2)

R xy (τ ) = df .

Соотношения (1) и (2) называют формулами Винера-Хинчина, которые в 30-е годы независимо установили связь между корреляционными функциями и спектральной плотностью через ПФ. При решении практических задач приходится допускать в R (t ) и S (f ) наличие дельта-функций.

Из свойств симметрии стационарных ковариационных функций следует

S x (-f) = S x (f) a S xy (-f) = S yx (f)

Следовательно, спектральная плотность S x (f ) – действительная четная функция, a S xy (f ) – комплексная функция от f .

Тогда спектральные соотношения из (1) можно преобразовать к виду

Взаимная спектральная плотность мощности(взаимный спектр мощности) двух реализаций и стационарных эргодических случайных процессов и определяется как прямое преобразование Фурье над их взаимной ковариационной функцией

или, с учетом соотношения между круговой и циклической частотами ,

Обратное преобразование Фурье связывает взаимные ковариационную функцию и спектральную плотность мощности:

Аналогично (1.32), (1.33) вводится спектральная плотность мощности(спектр мощности) случайного процесса

Функция обладает свойством четности:

Для взаимной спектральной плотности справедливо следующее соотношение:

где – функция, комплексно сопряженная к .

Введенные выше формулы для спектральных плотностей определены как для положительных, так и для отрицательных частот и носят название двухсторонних спектральных плотностей . Они удобны при аналитическом изучении систем и сигналов. На практике же пользуются спектральными плотностями, определенными только для неотрицательных частот и называемыми односторонними (рисунок 1.14):

Рисунок 1.14 – Односторонняя и двусторонняя

спектральные плотности

Выведем выражение, связывающее одностороннюю спектральную плотность стационарного СП с его ковариационной функцией:

Учтем свойство четности для ковариационной функции стационарного СП и функции косинус, свойство нечетности для функции синус, а также симметричность пределов интегрирования. В результате второй интеграл в полученном выше выражении обращается в нуль, а в первом интеграле можно сократить вдвое пределы интегрирования, удвоив при этом коэффициент:

Очевидно, что спектральная плотность мощности случайного процесса является действительной функцией.

Аналогично можно получить обратное соотношение:

Из выражения (1.42) при следует, что

Это означает, что общая площадь под графиком односторонней спектральной плотности равна среднему квадрату случайного процесса. Другими словами, односторонняя спектральная плотность интерпретируется как распределение среднего квадрата процесса по частотам.

Площадь под графиком односторонней плотности, заключенная между двумя произвольными значениями частоты и , равна среднему квадрату процесса в этой полосе частот спектра (рисунок 1.15):

Рисунок 1.15 – Свойство спектральной плотности

Взаимная спектральная плотность мощности является комплексной величиной, поэтому ее можно представить в показательной форме записи через модуль и фазовый угол :

где – модуль;

– фазовый угол;

, – действительная и мнимая части функции соответственно.

Модуль взаимной спектральной плотности входит в важное неравенство

Это неравенство позволяет определить функцию когерентности (квадрат когерентности), которая аналогична квадрату нормированной корреляционной функции:

Второй способ введения спектральных плотностей состоит в непосредственном преобразовании Фурье случайных процессов.

Пусть и – два стационарных эргодических случайных процесса, для которых финитные преобразования Фурье -х реализаций длины определяют в виде

Двусторонняя взаимная спектральная плотность этих случайных процессов вводится с использованием произведения через соотношение

где оператор математического ожидания означает операцию усреднения по индексу .

Расчет двусторонней спектральной плотности случайного процесса осуществляют по соотношению

Аналогично вводятся и односторонние спектральные плотности:

Функции , определенные формулами (1.49), (1.50), идентичны соответствующим функциям, определенным соотношениями (1.32), (1.33) как преобразования Фурье над ковариационными функциями. Это утверждение носит называние теоремы Винера-Хинчина.

Контрольные вопросы

1. Приведите классификацию детерминированных процессов.

2. В чем отличие между полигармоническими и почти периодическими процессами?

3. Сформулируйте определение стационарного случайного процесса.

4. Какой способ усреднения характеристик эргодического случайного процесса предпочтителен – усреднение по ансамблю выборочных функций или усреднение по времени наблюдения одной реализации?

5. Сформулируйте определение плотности распределения вероятности случайного процесса.

6. Запишите выражение, связывающее корреляционную и ковариационную функции стационарного случайного процесса.

7. В каком случае два случайных процесса считаются некоррелированными?

8. Укажите способы расчета среднего квадрата стационарного случайного процесса.

9. Каким преобразованием связаны спектральная плотность и ковариационная функции случайного процесса?

10. В каких пределах изменяются значения функции когерентности двух случайных процессов?

Литература

1. Сергиенко, А.Б. Цифровая обработка сигналов / А.Б. Сергиенко. – М: Питер, 2002.– 604 с.

2. Садовский, Г.А. Теоретические основы информационно-измерительной техники / Г.А. Садовский. – М.: Высшая школа, 2008. – 480 с.

3. Бендат, Д. Применение корреляционного и спектрального анализа / Д. Бендат, А. Пирсол. – М.: Мир, 1983. – 312 с.

4. Бендат, Д. Измерение и анализ случайных процессов / Д. Бендат, А. Пирсол. – М.: Мир, 1974. – 464 с.

Ниже приводится краткое описание некоторых сигналов и опре­деляются их спектральные плотности. При определении спектраль­ных плотностей сигналов, удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости, пользуемся непосредственно формулой (4.41).

Спектральные плотности ряда сигналов приведены в табл. 4.2.

1) Импульс прямоугольной формы (табл. 4.2, поз. 4). Колебание, изобра­женное на рис. (4.28, а), можно записать в виде

Его спектральная плотность

График спектральной плотности (рис. 4.28, а) построен на основе прове­данного ранее анализа спектра периодической последовательности однополярных, прямоугольных импульсов (4.14). Как видно из (рис. 4.28, б), функция обра­щается в нуль при значениях аргумента = n , где п - 1, 2, 3, ... - лю­бое целое число. При этом угловые частоты равны = .

Рис. 4.28. Импульс прямоугольной формы (а) и его спектральная плотность (б)

Спектральная плотность импульса при численно равна его площади, т.еG (0)=A . Это положение справедливо для импульса s (t ) произвольной формы. Действительно, полагая в общем выражении (4.41) = 0, получим

т. е. площадь импульса s (t ).

Таблица 4.3.

При растягивании импульса расстояние между нулями функциисокращается, т. е. происходитсжатие спектра. Значение при этом возра­стает. Наоборот, при сжатии импульса происходит расширение его спектра а значение уменьшается. На (рис. 4.29, а, б) приведены графики амплитудного и фазового испектров прямоугольного импульса.

Рис. 4.29. Графики амплитудного (а) Рис. 4.30. Импульс прямоугольной формы, и фазового (б) спектров сдвинутый на время

При сдвиге импульса вправо (за­паздывание) на время (рис. 4.30) фазовый спектр изменяется на величи­ну, определяемую аргументом множителяexp() (табл. 4.2, поз. 9). Результирующий фазовый спектр запаздывающего импульса изо­бражен на рис. 4.29, б пунктирной ли­нией.

2) Дельта-функция (табл. 4.3, поз. 9). Спектральную плотность – функции находим по формуле (4.41), используя фильтрующее свойствоδ -функции:

Таким образом, амплитудный спектр равномерный и определяется пло­щадьюδ -функции [= 1], а фазовый спектр равен нулю [= 0].

Обратным преобразованием Фурье от функции = 1 пользуются как одним из определенийδ -функции:

Пользуясь свойством временного сдвига (табл. 4.2, поз. 9), определяем спект­ральную плотность функции , запаздывающей на время относительно:

Амплитудный и фазовый спектры функции показаны в табл. 4.3, поз. 10. Обратное преобразование Фурье от функции имеет вид

3) Гармоническое колебание (табл. 4.3, поз. 12). Гармони­ческое колебание не является абсолютно интегрируемым сигналом. Тем не ме­нее для определения его спектральной плотностиприменяют прямое пре­образование Фурье, записывая формулу (4.41) в виде:

Тогда с учетом (4.47) получаем

δ(ω) – дельта-функции, смещенные по оси частот на частоту , соответственно вправо и влево относительно. Как видно из (4.48), спектральная плотность гармонического колебания с конечной амплитудой принимает бесконечно боль­шое значение на дискретных частотахи.

Выполняя аналогичные преобразования, можно получить спектральную плотность колебания (табл. 4.3, поз. 13)

4) Функция вида (табл. 4.3, поз. 11)

Спектральная плотность сигнала в виде постоянного уровня А определяется по формуле (4.48), положив = 0:

5) Единичная функция (или единичный скачок) (табл. 4.3, поз. 8). Функция не является абсолютно интегрируемой. Если представить как предел экспоненциального импульса , т. е.

то спектральную плотность функцииможно определить как предел спектральной плотности экспоненциального импульса (табл. 4.3, поз. 1) при :

Припервое слагаемое в правой части этого выражения равно нулю на всех частотах, кроме= 0, где оно обращается в бесконечность, а площадь под функцией равна постоянной величине

Поэтому пределом первого слагаемого можно считать функцию . Преде­лом второго слагаемого является функция. Окончательно получим

Наличие двух слагаемых в выражении (4.51) согласуется с представлением функции в виде 1/2+1/2sign(t ). Постоянной составляющей 1/2 со­гласно (4.50) соответствует спектральная плотность , а нечетной функции - мнимое значение спектральной плотности .

При анализе воздействия единичного скачка на цепи, передаточная функция которых при = 0 равна нулю (т. е. на цепи, не пропускающие по­стоянный ток), в формуле (4.51) можно учитывать только второе слагаемое, представляя спектральную плотность единичного скачка в виде

6) Комплексный экспоненциальный сигнал (табл. 4.3, поз. 16). Если представить функциюв виде

то на основании линейности преобразования Фурье и с учетом выражений (4.48) и (4.49) спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала

Следовательно, комплексный сигнал обладает несимметричным спект­ром, представленным одной дельта-функцией, смещенной на частотувправо относительно.

7) Произвольная периодическая функция. Представим произвольную перио­дическую функцию (рис. 4.31, а) комплексным рядом Фурье

где - частота следования импульсов.

Коэффициенты ряда Фурье

выражаются через значения спектральной плотности одиночного импуль­са s (t ) на частотах (n =0, ±1, ±2, ...). Подставляя (4.55) в (4.54) и поль­зуясь соотношением (4.53), определяем спектральную плотность перио­дической функции:

Согласно (4.56) спектральная плотность произвольной периодической функции имеет вид последовательности-функций, смещенных друг от­носительно друга, на частоту (рис. 4.31, б). Коэффициенты при δ -функциях изменяются в соответствии со спектральной плотностьюодиночного им­пульсаs (t ) (пунктирная кривая на рис. 4.31,б).

8) Периодическая последовательность δ-функций (табл. 4.3, поз. 17). Спект­ральная плотность периодической последовательности –функций

определяется по формуле (4.56) как частный случай спектральной плотности периодической функции при = 1:

Рис.4.31. Произвольная последовательность импульсов (а) и её спектральная плотность (б)

Рис. 4.32. Радиосигнал (а), спектральные плотности радиосигнала (в) и его огибающей (б)

и имеет вид периодической последовательности δ -функций, умноженных на ко­эффициент .

9) Радиосигнал с прямоугольной огибающей. Радиосигнал, представленный на (рис. 4.32,а), можно записать как

Согласно поз. 11 табл.4.2 спектральная плотность радиосигнала полу­чается путем сдвига спектральной плотностипрямоугольной огибающей по оси частот на вправо и влево с уменьшением ординат в два раза, т. е.

Это выражение получается из (4.42) путем замены частоты на частоты– сдвиг вправо и- сдвиг влево. Преобразование спектра огибающейпоказано на (рис. 4.32, б, в).

Примеры расчета спектров непериодических сигналов приведены так же в .

Пусть сигнал s (t ) задан в виде непериодической функции, причем он существует только на интервале (t 1 ,t 2) (пример - одиночный импульс). Выберем произвольный отрезок времени T , включающий в себя интервал (t 1 ,t 2) (см. рис.1).

Обозначим периодический сигнал, полученный из s (t ), в виде (t ). Тогда для него можно записать ряд Фурье

Для того, чтобы перейти к функции s (t ) следует в выражении (t ) устремить период к бесконечности. При этом число гармонических составляющих с частотами w =n 2p /T будет бесконечно велико, расстояние между ними будет стремиться к нулю (к бесконечно малой величине:

амплитуды составляющих также будут бесконечно малы. Поэтому говорить о спектре такого сигнала уже нельзя,т.к.спектр становится сплошным.

Внутренний интеграл является функцией частоты. Его называют спектральной плотностью сигнала, или частотной характеристикой сигнала и обозначают т.е.

Пределы интегрирования можно для общности поставить бесконечными, так как все равно там, где s(t) равна нулю, и интеграл равен нулю.

Выражение для спектральной плотности называют прямым преобразованием Фурье. Обратное преобразование Фурье определяет временную функцию сигнала по его спектральной плотности

рямое (*) и обратное (**) преобразования Фурье вместе называют парой преобразований Фурье. Модуль спектральной плотности

определяет амплитудно-частотную характеристику (АЧХ) сигнала, а ее аргумент называют фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) сигнала. АЧХ сигнала является четной функцией, а ФЧХ - нечетной.

Смысл модуля S (w ) определяется как амплитуда сигнала (тока или напряжения), приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, которая включает в себя рассматриваемую частоту w . Его размерность - [сигнал/частота].

Энергетический спектр сигнала. Если функция s(t) имеет фурье-плотность мощности сигнала (спектральная плотность энергии сигнала ) определяется выражением:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Спектр мощности W()-вещественная неотрицательная четная функция, которую обычно называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектральной плотности сигнала, не содержит фазовой информации о его частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. Последнее позволяет получить выражение для энергетического спектра непосредственно из выражений (5.2.7). В пределе, для одинаковых сигналов u(t) и v(t) при сдвиге t 0, мнимая часть спектра Wuv () стремится к нулевым значениям, а реальная часть - к значениям модуля спектра. При полном временном совмещении сигналов имеем:

т.е. энергия сигнала равна интегралу квадрата модуля его частотного спектра - сумме энергии его частотных составляющих, и всегда является вещественной величиной.

Для произвольного сигнала s(t) равенство

обычно называют равенством Парсеваля (в математике – теоремой Планшереля, в физике – формулой Релея). Равенство очевидно, так как координатное и частотное представления по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия двух сигналов:

Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:

В целом ряде чисто практических задач регистрации и передачи сигналов энергетический спектр сигнала имеет весьма существенное значение. Периодические сигналы переводятся в спектральную область в виде рядов Фурье. Запишем периодический сигнал с периодом Т в виде ряда Фурье в комплексной форме:

Интервал 0-Т содержит целое число периодов всех подынтегральных экспонент, и равен нулю, за исключением экспоненты при k = -m, для которой интеграл равен Т. Соответственно, средняя мощность периодического сигнала равна сумме квадратов модулей коэффициентов его ряда Фурье:

Энергетический спектр сигнала – это распределение энергии базисных сигналов, которые составляют негармонический сигнал, на оси частот. Математически энергетический спектр сигнала равен квадрату модуля спектральной функции:

Соответственно амплитудно-частотный спектр показывает множество амплитуд составляющих базисных сигналов на частотной оси, а фазо-частотный – множество фаз

Модуль спектральной функции часто называют амплитудным спектром , а ее аргумент – фазовым спектром .

Кроме того, существует и обратное преобразование Фурье, позволяющее восстановить исходный сигнал, зная его спектральную функцию:

Например, возьмем прямогульный импульс:

Еще один пример спектров:

Частота Найквиста, теорема Котельникова .

Частота Найквиста - в цифровой обработке сигналов частота, равная половине частоты дискретизации. Названа в честь Гарри Найквиста. Из теоремы Котельникова следует, что при дискретизации аналогового сигнала потерь информации не будет только в том случае, если спектр (спектральная плотность)(наивысшая частота полезного сигнала) сигнала равен или ниже частоты Найквиста. В противном случае при восстановлении аналогового сигнала будет иметь место наложение спектральных «хвостов» (подмена частот, маскировка частот), и форма восстановленного сигнала будет искажена. Если спектр сигнала не имеет составляющих выше частоты Найквиста, то он может быть (теоретически) продискретизирован и затем восстановлен без искажений. Фактически «оцифровка» сигнала (превращение аналогового сигнала в цифровой) сопряжена с квантованием отсчѐтов - каждый отсчѐт записывается в виде цифрового кода конечной разрядности, в результате чего к отсчетам добавляются ошибки квантования (округления), при определенных условиях рассматриваемые как «шум квантования».

Реальные сигналы конечной длительности всегда имеют бесконечно широкий спектр, более или менее быстро убывающий с ростом частоты. Поэтому дискретизация сигналов всегда приводит к потерям информации (искажению формы сигнала при дискретизации-восстановлении), как бы ни была высока частота дискретизации. При выбранной частоте дискретизации искажение можно уменьшить, если обеспечить подавление спектральных составляющих аналогового сигнала (до дискретизации), лежащих выше частоты Найквиста, для чего требуется фильтр очень высокого порядка, чтобы избежать наложения «хвостов». Практическая реализация такого фильтра весьма сложна, так как амплитудно-частотные характеристики фильтров имеют не прямоугольную, а гладкую форму, и образуется некоторая переходная полоса частот между полосой пропускания и полосой подавления. Поэтому частоту дискретизации выбирают с запасом, к примеру, в аудио компакт-дисках используется частота дискретизации 44100 Герц, в то время как высшей частотой в спектре звуковых сигналов считается частота 20000 Гц. Запас по частоте Найквиста в 44100 / 2 - 20000 = 2050 Гц позволяет избежать подмены частот при использовании реализуемого фильтра невысокого порядка.

Теорема Котельникова

Для того, чтобы восстановить исходный непрерывный сигнал из дискретизированного с малыми искажениями (погрешностями), необходимо рационально выбрать шаг дискретизации. Поэтому при преобразовании аналогового сигнала в дискретный обязательно возникает вопрос о величине шага дискретизации Интуитивно нетрудно понять следующую идею. Если аналоговый сигнал обладает низкочастотным спектром, ограниченным некоторой верхней частотой Fe, (т.е. функция u(t) имеет вид плавно изменяющейся кривой, без резких изменений амплитуды), то вряд ли на некотором небольшом временном интервале дискретизации эта функция может существенно изменяться по амплитуде. Совершенно очевидно, что точность восстановления аналогового сигнала по последовательности его отсчетов зависит от величины интервала дискретизации Чем он короче, тем меньше будет отличаться функция u(t) от плавной кривой, проходящей через точки отсчетов. Однако с уменьшением интервала дискретизации существенно возрастает сложность и объем обрабатывающей аппаратуры. При достаточно большом интервале дискретизации возрастает вероятность искажения или потери информации при восстановлении аналогового сигнала. Оптимальная величина интервала дискретизации устанавливается теоремой Котельникова (другие названия - теорема отсчетов, теорема К. Шеннона, теорема X. Найквиста: впервые теорема была открыта в математике О. Коши, а затем описана повторно Д. Карсоном и Р. Хартли), доказанной им в 1933 г. Теорема В. А. Котельникова имеет важное теоретическое и практическое значение: дает возможность правильно осуществить дискретизацию аналогового сигнала и определяет оптимальный способ его восстановления на приемном конце по отсчетным значениям.

Согласно одной из наиболее известных и простых интерпретаций теоремы Котельникова, произвольный сигнал u(t), спектр которого ограничен некоторой частотой Fe может - быть полностью восстановлен по последовательности своих отсчетных значений, следующих с интервалом времени

Интервал дискретизации и частоту Fe (1) в радиотехнике часто называют соответственно интервалом и частотой Найквиста. Аналитически теорема Котельникова представляется рядом

где k - номер отсчета; - значение сигнала в точках отсчета - верхняя частота спектра сигнала.

Частотное представление дискретных сигналов .

Большинство сигналов можно представить в виде ряда Фурье:

Подразумевая под случайным процессом множество (ансамбль) функций времени, необходимо иметь в виду, что функциям, имеющим различную фор­му, соответствуют различные спектральные характеристики. Усреднение комплексной спектральной плотности, определяемойой (1.47), по всем функциям приводит к нулевому спектру процесса (при М[х (t )]=0 ) из-за случайности и независимости фаз спектральных составляющих в различных реализациях.

Можно, однако, ввести понятие спектральной плотности сред­него квадрата случайной функции, поскольку значение среднего квадрата не зависит от соотношения фаз суммируемых гармоник. Если под случай­ной функцией х(t) подразумевается электрическое напряжение или ток, то средний квадрат этой функции можно рассматривать как среднюю мощ­ность, выделяемую в сопротивлении 1 Ом. Эта мощность распределена по частотам в некоторой полосе, зависящей от механизма образования случай­ного процесса.

Спектральная плотность средней мощности представляет со­бой среднюю мощность, приходящуюся на 1 Гц при заданной частоте ω . Размерность функции W (ω) , являющейся отношением мощности к полосе частот, есть

Спектральную плотность случайного процесса можно найти, если из­вестен механизм образования случайного процесса. Применительно к шу­мам, связанным с атомистической структурой материи и электричества, эта задача будет позже. Здесь же мы ограничимся несколькими определениями общего характера.

Выделив из ансамбля какую-либо реализацию x k (t ) и ограничив ее дли­тельность конечным интервалом Т , можно применить к ней обычное преоб­разование Фурье и найти спектральную плотность X kT (ω). Тогда энергию рассматриваемого отрезка реализации можно вычислить с помощью форму­лы:

(1.152)

Разделив эту энергию на T , получим среднюю мощность k-й реализации на отрезке Т

(1.153)

При увеличении Т энергия Э кТ возрастает, однако отношение стремится к некоторому пределу. Совершив предельный переход , получим:

г
де

представляет собой спектральную плотность средней мощности рассматри­ваемой k-й реализации.

В общем случае величина W k (ω) должна быть усреднена по множеству реализаций. Ограничиваясь в данном случае рассмотрением стационарного и эргодического процесса, можно считать, что найденная усреднением по одной реализации функция W k (ω) характеризует весь процесс в целом. Опуcкая индекс k, получаем окончательное выражение для средней мощности случайного процесса

Для процесса с нулевым средним

(1.156)

Из определения спектральной плотности (1.155) очевидно, что W х (ω) является четной и неотрицательной функцией ω.

1.5.3 Соотношение между спектральной плотностью и ковариационной функцией случайного процесса

С одной стороны, скорость изменения х(t ) во времени определяет шири­ну спектра. С другой стороны, скорость изменения х (t) определяет ход ковариационной функции. Очевидно, что между W х (ω) и К х (τ) имеется тес­ная связь.

Теорема Винера - Хинчина утверждает, что К х (τ) и W x (ω) связаны между собой преобразованиями Фурье:

(1.157)

(1.158)

Для случайных процессов с нулевым средним аналогичные выражения имеют вид:

Из этих выражений вытекает свойство, аналогичное свойствам преобра­зований Фурье, для детерминированных сигналов: чем шире спектр случайного процесса, тем меньше интервал корреляции, и соответственно чем больше интервал корреляции, тем уже спектр процесса (см.рис.1.20).

Рис.1.20. Широкополосный и узкополосный спектры случайного процесса; границы центральной полосы: ±F 1

Большой интерес представляет белый шум, когда спектр равномерен на всех частотах .

Если в выражение 1.158 подставить W x (ω) = W 0 = const, то получим

где δ(τ) - дельта-функция.

Для белого шума с бесконечным и равномерным спектром корреляцион­ная функция равна нулю для всех значений τ, кроме τ = 0 , при котором R x (0) обращается в бесконечность. Подобный шум, имеющий игольчатую структуру с бесконечно тонкими случайными выбросами, иногда называют дельта-коррелированным процессом. Дисперсия белого шума бесконечно велика.

Вопросы для самопроверки

Назовите основные характеристики случайного сигнала.

Как связаны математически корреляционная функция и энергетический спектр случайного сигнала.

Какой случайный процесс называется стационарным.

Какой случайный процесс называется эргодическим.

Как определяется огибающая, фаза и частота узкополосного сигнала

Какой сигнал называется аналитическим.